立體幾何中關于概念理解易錯問題的分析

■河南省商丘市第一高級中學

立體幾何是高考數學中的重點考查內容,考查形式有選擇題、填空題、解答題,考查同學們的空間想象能力、邏輯思維能力及數據計算處理能力。立體幾何的學習中,立體感的建立、知識概念的理解與點線面位置關系的處理是學習的重點和難點。

空間幾何體的特征與點線面的位置關系的判斷是同學們學習過程中的易錯點,主要錯誤點是空間想象能力和立體感官概念的缺失,現從以下易錯例題進行分析。

例1 給出下列命題:

①分別和兩條異面直線AB,CD同時相交的兩條直線AC,BD一定是異面直線；

②同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行；

③斜線b在面α內的射影為c,直線a⊥c,則a⊥b；

④有三個角為直角的四邊形是矩形。

其中為真命題的是____(填序號)。

錯誤原因：空間觀念不明確,三垂線定理概念不清。

審題方法：本題考查異面直線的概念及判定方法,空間幾何中點、線、面之間的位置關系。

解題思路：命題①:若AC,BD不是異面直線,則AC,BD是共面直線,即點A,B,C,D在一個平面上,故AB,CD也不是異面直線,所以命題①正確；

命題②錯因:可以作出與兩條異面直線同時平行的平面,此平面的垂線同時與兩異面直線垂直,此平面的垂線一定平行；

命題③錯因:直線a的位置不確定；

命題④錯因:有三個角為直角的四邊形有可能是空間四邊形。

答案：①

變式1 給出下列四個命題:

①各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②一個多面體的各頂點都有3條棱,則其頂點數V、面數F滿足的關系式為2FV=4；

③若直線l⊥平面α,l∥平面β,則α⊥β；

④命題“異面直線a,b不垂直,則過a的任一平面與b都不垂直”的否定。

其中正確命題的序號是( )。

A.②③ B.①④

C.①②③ D.②③④

審題方法：命題①②考查的是簡單幾何體的特征,需熟練掌握簡單幾何體的結構特征；命題③④考查線面垂直與平行關系,需掌握線面平行的判定和性質定理。

答案：A

變式2 一個三棱錐,如果它的底面是直角三角形,那么關于它的三個側面,有下列結論:

①至多只能有一個直角三角形；

②至多只能有兩個直角三角形；

③可能都是直角三角形；

④必須都是非直角三角形。

其中正確命題的序號是____。

審題方法：熟練掌握三棱錐的幾何特征,正確理解各面三角形的形狀。

答案：③

例2 有下列命題:

①如果直線a,b滿足a∥b,那么a平行于經過b的任何平面；

②如果直線a和平面α滿足a∥α,則a與平面α內的任何直線都平行；

③如果直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a∥b；

④如果直線a,b和平面α滿足ab,a∥α,b?α,那么b∥α。

其中正確命題的個數為____。

審題方法：線面平行的性質。

解題思路：命題①錯因:直線a不與直線a,b確定的平面平行；

命題②錯因:直線a與平面α內的無數條直線平行,但不與所有直線平行；

命題③錯因:直線a,b的關系也可能相交,也可能異面；

命題④:因為a∥α,所以平面α內有直線l∥a,又因為a∥b,所以b∥l,因為b?α,所以b∥α。所以為真命題。

答案：1

變式1 已知a,b為不同的直線,有下列命題:

①若a∥b,b⊥α,則a⊥α；

②若a⊥α,b⊥α,則a∥b；

③若a⊥α,b?α,則a⊥b；

④若a⊥b,a⊥α,則b⊥α。

其中正確命題的序號是____。

審題方法：線面垂直的判定和性質知識的考查。

答案：①②③

變式2 在空間中,給出下面四個命題:

①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；

②若平面外兩點到平面的距離相等,則過兩點的直線必平行于該平面；

③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

④若兩個平面相互垂直,則一個平面內的任意一條直線必定垂直于另一個平面內的無數條直線。

其中正確命題的序號是____。

審題方法：線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定和性質知識的考查。

答案：①④