對(duì)不滿足“基本不等式”條件的最值問題的解法探究

■河南省潢川第一中學(xué)高三(11)班 程 曦

一、不具備“正值”條件時(shí)，需將其轉(zhuǎn)化為正值

例1求函數(shù)的最值。

分析：因2x,,不一定是正值,故需先將其轉(zhuǎn)化為正值。

解：當(dāng)x＞0時(shí),=1-。

當(dāng)x＜0時(shí),y=1-2x-=1+(-2x)+。

綜上所述,當(dāng)x＞0時(shí),時(shí),函數(shù)y=1-2x-的最大值為;當(dāng)x＜0時(shí),x=時(shí),函數(shù)y=1-2x-的最小值為。

點(diǎn)評(píng)：基本不等式的兩個(gè)變量都必須是正實(shí)數(shù)。如果兩個(gè)變量異號(hào)或同為負(fù)實(shí)數(shù),那么不等式要么不成立,要么不等號(hào)的方向會(huì)改變。

變式訓(xùn)練：已知x＜0,求函數(shù)3x的最大值。

解：因?yàn)閤＜0,所以-x＞0

故y≤-12,當(dāng)且僅當(dāng),即x=-2時(shí),等號(hào)成立。

故當(dāng)x＜0時(shí),函數(shù)的最大值為-12。

二、不具備“定值”條件時(shí)，需將其構(gòu)造成定值條件

1.求和的最值,而積不為定值

例2已知x＞-1,求函數(shù)y=2x+的最小值。

分析：要積為定值,必須要去掉分母中的2x+3,故需把2x變形為(2x+3)-3。

解：由題意知,y=2x+=(2x+3)+。

x＞-1,故2x+3＞0,(2x+3)+

故y≥1,當(dāng)且僅當(dāng)2x+3=,即x=-時(shí),等號(hào)成立。

故當(dāng)x＞-1時(shí),函數(shù)3x的最小值為1。

變式訓(xùn)練：已知a、b、x、y都是正數(shù),且,求x+y的最小值。

解：x+y=

2.求積的最值,而和不為定值

例3已知,求函數(shù)(1-3x)的最大值。

分析：由題意可知x,1-3x均為正數(shù),但x2,1-3x的和不是定值,故需將(1-3x)進(jìn)行適當(dāng)變形,構(gòu)造定值。

解：

點(diǎn)評(píng)：在利用“均值不等式”求最值時(shí),若不具備“定值”條件,需將其構(gòu)造成定值條件,并巧妙用“定值”這個(gè)條件對(duì)所求式子進(jìn)行分拆、組合、添加系數(shù)使之滿足均值不等式的條件。

三、不具備“相等”條件時(shí)，需進(jìn)行適當(dāng)變形或利用函數(shù)單調(diào)性求最值

例4已知0＜x≤1,求函數(shù)的最小值。

分析：若直接利用基本不等式,則有y=,當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立。而2?(0,1],所以等號(hào)不成立。

解：因?yàn)樵趚∈(0,2]上為減函數(shù),所以函數(shù)在x∈(0,1]上為減函數(shù)。

因此,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最小值ymin=1+4=5。

變式訓(xùn)練：已知x∈(0,π),求y=的最小值。

解：令t=sinx(0＜t≤1),則易得y=,y在t∈(0,1]上是減函數(shù)。

故當(dāng)t=1,即時(shí),ymin=10。

四、最值問題的其他處理方法

例5已知a＞b＞0,求的最小值。

分析：本題若直接利用均值不等式,即使通過變形,也很難保證其積為定值,可先求的最小值,連續(xù)兩次用均值不等式。

解：因?yàn)閍＞b＞0,所以a-b＞0。故b(a-b

點(diǎn)評(píng)：第一次用均值不等式求分母最值時(shí),達(dá)到了化簡(jiǎn)分母的目的,同時(shí)具備第二次使用基本不等式的“相等”條件,也具備第一次的“相等”條件。連續(xù)兩次使用基本不等式求最值時(shí),應(yīng)注意兩次“相等”必須一致,否則就會(huì)出錯(cuò)。