妙用柯西不等式的變形解題

■湖北省天門市實驗高級中學 曾鴻燁

柯西不等式作為一個基本而又重要的不等式,具有較強的應用性。同學們如果能靈活巧妙地運用柯西不等式,特別是柯西不等式的變形形式,就會在解題時能收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過一些課本上的習題、高考題、競賽題來看柯西不等式變形形式的應用。

柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是實數,則(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為零時,當且僅當存在一個實數k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)時等號成立。

柯西不等式的變形形式：若a1,a2,…,an為實數為正數,則+…,當不全為零時,當且僅當存在一個實數k,使得時等號成立。

例1已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證：。你能否把這一結論推廣?并寫出證明過程。

證明：因為a,b,c∈R+,且a+b+c=1,所以由柯西不等式的變形形式得：

推廣：x1,x2,,xn∈R+,且x1+x2+,則

例2已知a,b,c是互不相等的正數,求證：

證明：a,b,c是正數,由柯西不等式的變形形式得：

又因為a,b,c是互不相等的正數,所以

例3設x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,求證：+…+

證明：因為x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,所以由柯西不等式的變形形式得：

例4(2017年山東卷第12題)已知直線=1(a＞0,b＞0)過點(1,2),則2a+b的最小值為

解：因為直線=1(a＞0,b＞0)過點(1,2),所以。

又a＞0,b＞0,故由柯西不等式的變形形式得：

例5(2008年陜西卷第22題)已知數列{an}的首項,2,…。證明：a1+a2+…+。

證明：由題意易得,于是=1+。

由柯西不等式的變形形式,得：

a1+a2+…+an=。

所以結論成立。

例6(2012年全國數學聯賽甘肅預賽第11題)設a,b,c為正實數,且a+b+c=1,求證：。

證明：因為a,b,c為正實數,所以a2+b2+c2≥a b+b c+c a。

又a+b+c=1,故由柯西不等式的變形形式得：

拓展：設ai,bi(i=1,2,…,n)同號且不為0,則≥,當a,a,…,12an,b1,b2,…,bn不全為零時,當且僅當存在一個實數k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)時等號成立。