雙變量不等式的解題策略

■河南省濮陽市第一高級中學 李佳穎

2018年全國Ⅰ卷的導數壓軸題,再次掀起研究雙變量不等式、極值點偏移的熱潮。據統計近九年的全國及各地高考試題中,有七次出現在高考壓軸題位置,很多同學對此類問題經常是束手無策。而且此類問題變化多樣,有些題型是不含參數的,而更多的題型又是含有參數的。不含參數的如何解決?含參數的又該如何解決?是否有更簡便的方法來解決?其實,處理這類問題的手段有很多,方法也就有很多,下面從兩類典型問題出發探究解決此類問題的常用策略。

一、不含參數的問題

例1(2010年天津理數)已知函數f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1+x2＞2。

證法一：欲證x1+x2＞2,即證x2＞2-x1。f'(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,f(x)在x=1處取得極值。f(x1)=f(x2),且x1≠x2,不妨設0＜x1＜1＜x2,故2-x1,x2∈(1,+∞)。又因為f(x)在(1,+∞)上單調遞減,故只需證f(x2)＜f(2-x1)。又因為f(x1)=f(x2),故即證f(x1)＜f(2-x1)。構造函數H(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),則等價于證明H(x)＜0對x∈(0,1)恒成立。

由于H'(x)=在(0,1)上恒大于0,則H(x)在x∈(0,1)上單調遞增,所以H(x)＜H(1)=0。故H(x)＜0對x∈(0,1)恒成立,原不等式x1+x2＞2亦成立。

證法二：由f(x1)=f(x2),得=,化簡得

不妨設x2＞x1,由證法一知,0＜x1＜1＜x2。令t=x2-x1,則t＞0,x2=t+x1。代入①式,得,解得。則x1+x2=2x1+t=。故要證x+x

12＞2,即證+t＞2。又因為et-1＞0,等價于證明：2t+(t-2)(et-1)＞0。②

構造函數G(t)=2t+(t-2)(et-1)(t＞0),則G'(t)=(t-1)et+1,G″(t)=tet＞0,故G'(t)在t∈(0,+∞)上單調遞增,G'(t)＞G'(0)=0,從而G(t)也在t∈(0,+∞)上單調遞增,G(t)＞G(0)=0,即證②式成立,也即原不等式x1+x2＞2成立。

小結：以上兩種證法均是為了實現將雙變量的不等式轉化為單變量不等式,證法一利用構造新的函數來達到消元的目的,證法二則是利用構造新的變量,將兩個舊的變量都換成新變量來表示,從而達到消元的目的。

二、含參數的問題

例2已知函數f(x)=x-aex有兩個不同的零點x1,x2,求證：x1+x2＞2。

思路1：函數f(x)的兩個零點,等價于方程xe-x=a的兩個實根,從而這一問題與例1完全等價,例1的兩種證法全都可以用。

思路2：也可以利用參數a這個媒介去構造出新的函數。解答如下：

因為函數f(x)有兩個零點x1,x2,所以

由(1)+(2)得：

x1+x2=a()。

要證明x1+x2＞2,只要證明a(+)＞2。

由(1)-(2)得：

x1-x2=

證(x1-x2＞2?(x-x)·12

不妨設x1＞x2,記t=x1-x2,則t＞0,et＞1。因此只要證明。再次換元令et=x＞1,t=l nx,即證

小結：本題是含參數的極值點偏移問題,在原有的兩個變量x1,x2的基礎上,又多了一個參數,思路很自然地就會想到：想盡一切辦法消去參數,從而轉化成不含參數的問題去解決;或者以參數為媒介,構造新的函數解題。

例3已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2,證明：x1+x2＜2。

證明：由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,得f'(x)=(x-1)(ex+2a),可知f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。要使函數y=f(x)有兩個零點x1,x2,則必須有a＞0。

不妨設x1＜x2,由單調性知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),所以2-x2∈(-∞,1)。f(x)在(-∞,1)上單調遞減,故要證x1+x2＜2,等價于證明f(2-x2)＜f(x1)=0。

解決雙變量不等式的兩種方法,實質上都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量求解,途徑都是構造一元函數,掌握了這一本質思想,此類問題就可以迎刃而解。