基本不等式變形技巧的應用

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用,利用基本不等式時,要對已知條件進行靈活變形,使問題出現積(或和)為定值,以便解決問題,現就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數

例1求函數的值域。

解：(1)當x＞1時,當且僅當x-1=,即x=2時,等號成立,此時y的最小值為3。

(2)當x＜1時,所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,當且僅當1-x=,即x=0時,等號成立,此時y的最大值為-1,

綜上,y的值域為(-∞,-1]∪[3,+∞)。

點評：當各項符號不確定時,必須分類討論,要保證代數式中的各項均為正數。

技巧二：巧變常數

例2已知,求函數y=x(1-2x)的最大值。

解：因為0＜x＜,所以x＞0。

y=x(1-2x)=≤,當且僅當x=,即時,等號成立,y的最大值為。

點評：形如f(x)=x(1-a x)或f(x)=x2(1-a x2),常有兩種變形方法,一是巧乘常數,二是巧提常數,應用時要靈活運用。

技巧三：分離常數

例3已知,則f(x)=有( )。

解：f(x)==,當且僅當,即x=3時,函數有最小值,故選D。

點評：通過加減常數,分離出一個常數是分式函數求值域常用的方法,這里一定要加減好“常數”,以利于問題的解決。

技巧四：活用常數

例4若x,y∈R+且滿足,求x+y的最小值。

解：由x,y∈R+且,得x+y=(x+y)+20≥+20=36,當且僅當,即x=12且y=24時,等號成立,所以x+y的最小值是36。

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換,整理后得到基本不等式的形式,減少了使用基本不等式的次數,有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。