數列求和熱點題型“再回首”

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

數列求和是高考每年必考內容,主要涉及等差、等比數列求和,裂項相消法求和,錯位相減法求和及分組法求和等,考查同學們對基礎知識的掌握及解決問題的能力,難度中等。以下幾類熱點題型同學們應特別關注。

題型一 分組轉化法求和

將數列中的每一項分拆成幾項,然后重新分組,將一般數列求和問題轉化為特殊數列的求和問題,我們將這種方法稱為分組轉化法求和法,運用這種方法的關鍵是通項合理變形。

例1(2018·合肥質檢)已知數列{an}的前n項和,n∈N*。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn=2an+(-1)nan,求數列{bn}的前2n項和。

解析：(1)當n=1時,a1=S1=1;

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-

n=1時,a1也滿足an=n,故數列{an}的通項公式為an=n。

(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn。

記數列{bn}的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)。

記A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,則：

A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n。

故數列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2。

點評：用分組轉化法求和的常見類型：

(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數列,可采用此法求{an}的前n項和;

(2)數列通項公式為an=中數列{bn},{cn}是等比數列或等差數列,可采用此法求和。

【變式訓練1】(2018·深圳調研)已知函數f(n)=且an=fn+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( )。

A.0 B.100

C.-100 D.10200

參考答案：B。

題型二 錯位相減法求和

(1)如果一個數列的每項都由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成,此時可采用錯位相減法求和。

(2)運用錯位相減法求和,一般和式比較復雜,運算量較大,易會不易對,應特別細心,解題時若含參數,要注意分類討論。

例2(2018·阜陽調研)設等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100。

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

(2)當d＞1時,記,求數列{c}n的前n項和Tn。

解析：(1)由題意得解得

(2)由d＞1,知an=2n-1,bn=2n-1。故,于是：

Tn=。①

點評：用錯位相減法求和時,應注意：

(1)要善于識別題目類型,特別是等比數列公比為負數的情形;

(2)在寫“Sn”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-”的表達式;

(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數列的公比為參數,應分公比等于1和不等于1兩種情況求解。

【變式訓練2】(2017·衡水中學調研卷)已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S3=6,S5=,則 數 列的前n項和為( )。

參考答案：B。

題型三 裂項相消法求和

裂項相消法求和就是將數列中的每一項拆成兩項或多項,使這些拆開的項出現有規律的相互抵消,看有幾項沒有抵消掉,從而達到求和的目的。

例3(2018·梅州質檢)已知正項數列{an},a1=1,點()(n∈N*)在函數y=x2+1的圖像上,數列{bn}的前n項和Sn=2-bn。

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

解析：(1)因為點(,an+1)(n∈N*)在函數y=x2+1的圖像上,所以an+1=an+1,數列{an}是公差為1的等差數列。

因為a1=1,所以an=1+(n-1)×1=n。

因為Sn=2-bn,所以Sn+1=2-bn+1。

兩式相減,得：

bn+1=-bn+1+bn,即。

由S1=2-b1,得b1=2-b1,b1=1。

故數列{bn}是首項為1,公比為的等比數列。

(2)l o g2bn+1==-n,因此,cn=。

故Tn=c1+c2+…+cn=

【變式訓練3】(2018·南昌調研)已知正項數列{an}的前n項和為Sn,任意n∈N*,2Sn=+an。令設{bn}的前n項和為Tn,則在T1,T2,T3,…,T100中有理數的個數為

參考答案：9。