利用基本不等式破解最值問題

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

我們學過的基本不等式主要有：

若a,b∈R*,則,當且僅當a=b時等號成立。

若a,b∈R,則a2+b2≥2a b,當且僅當a=b時等號成立。

利用基本不等式求最值,是高考考查的重點之一。解題時要選準相當于公式中a、b的代數(shù)式,同時注意公式的正用、逆用及變形用,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。此外,一定要注意“一正二定三相等”。

一、正用“a,b∈R*，則”求最小值

例1(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則的最小值為

解析：由a-3b+6=0可知a-3b=-6。

因為對于任意x,2x＞0恒成立,所以,結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得2a+2-3b≥

點評：正用基本不等式“若a,b∈R*,則”,只有當這兩個數(shù)的積一定時,這兩個正數(shù)的和才有最小值。在求解本題的過程中注意a,b∈R,2a、8b均為正數(shù),這是應用基本不等式的條件。

例2已知x＞2,函數(shù)的最小值為( )。

A.5 B.4 C.8 D.6

解析：因為x＞2,即x-2＞0,所以由基本不等式可知(x-2)≥4,當且僅當即x=4時取等號。

所以y≥6,故選D。

例3已知若0≤λ≤1≤μ≤2時,的最大值為2,則m+n的最小值為

解析：由已知得=(x,y)。

所以λ=x-y,μ=y。

所以0≤x-y≤1≤y≤2,可行域為一個平行四邊形及其內(nèi)部。由直線的斜率小于零知,直線過點(3,2)時取得最大值,即

因此m+n=(m+n),當且僅當時取等號。

點評：本題直接求m+n的最小值較困難,因為m與n的積不是常數(shù),需要通過向量知識、線性規(guī)劃知識求得,再通過整體代換把m+n變?yōu)閙+n=,正用基本不等式求m+n的最小值。

例4(2018·陜西西安聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則的最小值為( )。

解析：因為a1,a3,a13成等比數(shù)列,a1=1,所以=a1·a13,(1+2d)2=1+12d(d≠0),解得d=2。

所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n+×2=n2。

故選A。

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,等比中項的性質(zhì),基本不等式求最值的知識。解題的關(guān)鍵是利用分離常數(shù)法化簡式子,湊出積為定值。

二、逆用“a,b∈R*，則”求最大值

例5已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前20項和為100,那么a3·a18的最大值為( )。

解析：由題意可知

所以a3+a18=10,故a3·a18≤=25,當且僅當a=a時等號成立。故選B。

點評：①要巧用等差數(shù)列的性質(zhì)。②當a,b∈R*時,把≥a b變形為a b≤,即要求積的最大值,必須有這兩個數(shù)的和一定。

例6設(shè),則函數(shù)y=x(3-2x)的最大值為

解析：因為,所以3-2x＞0。

所以y=x(3-2x)=(3-2x)≤,當且僅當2x=3-2x,即x=時等號成立。

點評：本題無法直接運用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值。

例7函數(shù)y=的最大值為

解析：注意到2x-1與5-2x的和為定值,所以y2=2x)=8。

又y＞0,所以0＜y≤22,當且僅當2x-1=5-2x,即時取等號。

故ymax=2。

點評：本題將解析式兩邊平方,根號下的兩數(shù)的“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

三、正用“a,b∈R，則a2+b2≥2a b”求最小值

例8△A B C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若a,b,c成等比數(shù)列,則cosB的最小值為

解析：因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=a c。

由余弦定理得cosB==,當且僅當a=c時等號成立。

所以cosB的最小值為。

點評：本題是基本不等式在三角形中的運用,可正用“a,b∈R,則a2+b2≥2a b”求cosB的最小值。

四、逆用“a,b∈R，則a2+b2≥2a b”求最大值

例9 若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3x y=30,則x y的最大值為( )。

解析：由x＞0,y＞0,所以2·2x·3y≤4x2+9y2,當且僅當2x=3y時等號成立。

因為4x2+9y2+3x y=30,所以x y≤(4x2+9y2)=(30-3x y)。

所以x y≤2。

故選C。

點評：本題先逆用“a,b∈R,則a2+b2≥2a b”求2x·3y的最大值,再解關(guān)于x y的不等式求x y的最大值。

五、基本不等式的多次運用

例10已知a＞b＞0,則的最小值為

解析：因為a＞b＞0,所以=16,當且僅當即a=2b=22時等號成立。

點評：連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致。