基本不等式的幾種變式及其應用

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

現行高中數學教材“不等式”一章中,給出了兩個正數的基本不等式：如果a,b為正數,那么。但在實際解題中,許多同學對(*)式的應用并不能得心應手,究其原因是對不等式(*)潛在的變式功能沒有掌握,存在著知識未上升到能力的問題。對此,根據不等式(*)的結構特征,本文給出不等式(*)的幾種不同變式,以幫助同學們更加全面深入地理解和掌握不等式(*)潛在的作用和價值。

變式1：≥3a-2b。(a,b∈R+,當且僅當a=b時取等號)

推導：為了消去不等式(*)右邊的根號,可以把a換成,整理得此式兩邊同時乘以后,得,進一步得≥2(2a-b)-a,整理可得變式1。

變式2：(a,b∈R+,當且僅當a=b時取等號)

推導：觀察不等式(*),右邊可以變為,如果加上,那么不等式(*)的右邊就變成完全平方式,這時,給左邊加上,則整理可得變式2。

變式3：(a+1)(b+1)≥(a b+1)2。(a,b∈R+,當且僅當a=b時取等號)

推導：如果將不等式(*)的右邊變為,那么給不等式(*)的兩邊同時加上,將此式兩邊分別整理得,將此式左邊的分子分解因式,則整理可得變式3。

變式4：。(a,b∈R,+當且僅當a=b時取等號)

推導：如果把不等式(*)中的a,b分別用代換,可得到又與(*)式結合,可得,整理可得變式4。

例1當x＞0時,則的最小值為

解：將變式1變形為a3+2b3≥3a b2,則即得y≥3,當且僅當時等號成立。故所求的最小值為3。

點評：變形是一種基本的解題能力,通過對變式1的變形,與函數式形成了有效的對接,從而優化了解題過程。

例2已知x2+(y-1)2=1,則使不等式x+y+c≥0恒成立的c的取值范圍是

解：由已知及變式2得：

例3已知a,b∈R+,且a+b=1,則的最小值為。

解：由已知及變式3得：

點評：初看此題,思考的難度較大,但利用變式3之后,再借助“配方法”這個工具,則思路自然暢通。受此解啟發,也可以先給兩個根式下面的項分別配上系數,再利

例4已知0≤x≤,則函數y=x2·(1-3x)的最大值為

解：當x=0或x=時,y=0;當0＜x＜時,引入一個待定的正參數l,由變式4得,整理得x2-,得,所以有x2-,即得y=x2(1-3x),當且僅當時等號成立,故。

點評：此解利用變式4后,借助“待定系數法”這個工具,不失為一種有效的方法。如果把函數化為y=x2-3x3,則可利用導數求解。

上面,我們給出了基本不等式(*)的四個面貌全非而又十分有用的變式,對它們的應用,往往需要根據題目的已知條件和結構特點,靈活地、合理地選用,由此為進一步處理數學問題架起了新的解題之“橋”,開辟了新的解題通道。

練一練：

1.已知a,b是滿足a+b=1的正數,則的最小值為

2.函數f(x)=的最大值為

3.設x,y是滿足的正數,則的最小值為

4.已知x∈,則函數sin3x+cos3x的最小值為

答案：1.

2.

3.9

4.