認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下的三角函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)探究

張藝凡

（西華師范大學(xué) 四川 南充 637009）

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是個(gè)人將自己所認(rèn)識的信息組織起來的心理系統(tǒng)。在實(shí)踐中可以明顯體會到，認(rèn)識了的知識需要加以組織整理、存儲在記憶中，才能有效地加以利用。因此，對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)也應(yīng)當(dāng)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以促進(jìn)記憶、減少記憶容量、推動知識的正向遷移。所以了解數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用影響，以及學(xué)生產(chǎn)生建立數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)障礙的原因，可以幫助學(xué)生學(xué)會如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、“原有”數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響分析

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、公式、法則和定理等知識在學(xué)習(xí)者頭腦當(dāng)中的反映，是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)知識的過程中結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、想象、思維等認(rèn)知活動，逐漸積累起來的關(guān)于數(shù)學(xué)方面的觀念系統(tǒng)。但數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)又不等同于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是指一個(gè)邏輯嚴(yán)密結(jié)構(gòu)完善、語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識體系，是人們長期探索出來的客觀真理，不以人的意志所轉(zhuǎn)移改變，而數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中的反映，通過學(xué)習(xí)者的感知、想象、思維等認(rèn)知活動內(nèi)化為學(xué)習(xí)者自己的結(jié)構(gòu)。由此可見數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有一定的互異性、主觀性。

1.原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性

如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有新知識的固著點(diǎn)，就可以快速高效地同化新知識，找到新知識學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素，從而更好的順應(yīng)新知識，形成更加完整和高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，在我們高中學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義時(shí)，最開始是由初中的銳角三角函數(shù)定義作為新知識的固著點(diǎn)的，再由銳角擴(kuò)充到任意角，由比值表示函數(shù)到由坐標(biāo)表示函數(shù)，從而自然引出任意角的三角函數(shù)定義。

2.原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可辨性

新舊知識之間一定要有可以分辨的點(diǎn)，要明白新知識與舊知識之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。這樣可以更加快速準(zhǔn)確的找到同化新知識的固著點(diǎn)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，在任意三角函數(shù)的定義當(dāng)中，任意角的三角函數(shù)定義與銳角三角函數(shù)的定義，一個(gè)是用線段比定義，而另一個(gè)是用點(diǎn)坐標(biāo)來定義，所以在任意角三角函數(shù)的定義當(dāng)中就不能再混有銳角三角函數(shù)，這也是很多學(xué)生在理解任意角三角函數(shù)的一個(gè)易混點(diǎn)。

3.原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性和穩(wěn)定性

學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性和穩(wěn)定性直接影響著學(xué)習(xí)者新知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中的相關(guān)觀念不清晰穩(wěn)定，那么新知識的同化順應(yīng)一定會存在困難。比如，判定的最小正周期，很多學(xué)生會把它化簡成，從而得出它的最小正周期為π，但是正解是2π。這是因?yàn)閷W(xué)生對于函數(shù)的舊知識理解不夠深刻，關(guān)于函數(shù)的相關(guān)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠穩(wěn)定清晰，導(dǎo)致了三角函數(shù)與函數(shù)知識聯(lián)系薄弱，讓學(xué)生把三角函數(shù)更多的是和簡單計(jì)算問題聯(lián)系在一起，而不是作為函數(shù)來研究，該問題主要考察的就是函數(shù)定義域?qū)θ呛瘮?shù)性質(zhì)的影響。

二、“將有”數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立分析

1.知識緯度

知識是客觀存在的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。而知識存在的意義就是供人學(xué)習(xí)，然后人又再不斷地去發(fā)展知識，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是個(gè)人將所認(rèn)識的信息組織起來的心理系統(tǒng)。實(shí)踐表明，對于認(rèn)識了的知識必須進(jìn)行再加工才能真正地被人所利用。而知識的再加工就包括知識的組織整理儲存以及提取，所以認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)對于知識的組織和理解以及發(fā)展有深遠(yuǎn)的意義。例如對于三角函數(shù)來說，知識點(diǎn)多而雜，知識相似性大，容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過后對于知識產(chǎn)生模糊性，同時(shí)初中知識會對高中學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移。這時(shí)候數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立顯得尤為重要。

2.教師緯度

對于教師來說，幫助學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才是比單純傳授學(xué)生知識更重要的事情。面對當(dāng)前的應(yīng)試教育，還有很多教師都還是對學(xué)生采用“填鴨式”和“灌輸式”教學(xué)以及“題海戰(zhàn)術(shù)”，這些方式都是將知識看成是簡單地堆砌，不利于教學(xué)目標(biāo)的真正實(shí)現(xiàn)。教師應(yīng)當(dāng)挖掘知識之間的聯(lián)系，注重學(xué)生心理上的活動而行為上的，幫助學(xué)生從一開始就建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣才能使學(xué)生在從低階段升入高階段的學(xué)習(xí)后也可以游刃有余。良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅可以提高教師的教學(xué)效率，也讓學(xué)生可以真正地學(xué)好數(shù)學(xué)。

3.學(xué)生緯度

現(xiàn)今普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)注重理解。理解數(shù)學(xué)不僅可以幫助學(xué)生記憶相關(guān)數(shù)學(xué)知識，還可以降低記憶的容量，除此之外還能促進(jìn)知識的正遷移。而知識的理解需要有一定的心理圖示，也還需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)地再組織。由此可見，學(xué)生建立完整良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。高中之前，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識簡單，學(xué)習(xí)的內(nèi)容相對高中較少，這時(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的好壞對于學(xué)生的影響相對于高中沒有那么明顯，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要性也就沒有得到體現(xiàn)。但之前的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立不完善就導(dǎo)致一些學(xué)生在面對高中繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)感覺力不從心，這也是為什么很多初中學(xué)習(xí)成績好的，到了高中卻不一定能夠保持學(xué)習(xí)水平的原因。

三、解決學(xué)生三角函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建障礙的策略

廣義上的知識可以分為陳述性知識和程序性知識兩種。數(shù)學(xué)的陳述性知識包括數(shù)學(xué)事實(shí)（名稱、符號、圖形）、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原則（公式、定理、法則等），以及數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)的程序性知識則是如何利用概念、規(guī)則、定理去解決問題。因此解決學(xué)生三角函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建障礙也可以從陳述性知識和程序性知識兩方面入手。

1.陳述性知識方面的策略

策略1：精細(xì)分析

三角函數(shù)的知識點(diǎn)多且大多以公式形式呈現(xiàn)，這時(shí)候應(yīng)當(dāng)講清楚公式是如何推導(dǎo)來的，公式中的每一個(gè)符號代表什么。比如在三角形的誘導(dǎo)公式之中，把公式一到四概括為的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。在講解誘導(dǎo)公式時(shí)，應(yīng)先講解角的變化，再到誘導(dǎo)公式。同時(shí)教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)公式里面把這一個(gè)部分看作是一象限的角而不是單純指一個(gè)角。

策略2：有效組織

有效組織是指構(gòu)建新知識的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知識進(jìn)行各自的組織與整理。在三角函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分利用學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，這樣可以讓學(xué)生更好地理解三角函數(shù)，增強(qiáng)公式圖形地記憶，讓學(xué)生更容易接受。

策略3：及時(shí)復(fù)習(xí)

在實(shí)際教學(xué)中，許多老師都發(fā)現(xiàn)當(dāng)學(xué)完一整章之后，大部分學(xué)生遺忘的很多。因此，我們應(yīng)當(dāng)及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，能夠?qū)σ徽碌闹R形成一個(gè)知識系統(tǒng)。

2.程序性知識方面的策略

策略1：練習(xí)策略

程序性知識主要是表述“怎么做”的知識，程序性知識的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是運(yùn)用概念、定理解決問題。因此對于程序性知識應(yīng)當(dāng)給予一定強(qiáng)度的有針對性的練習(xí)，以達(dá)到熟練運(yùn)用知識的技能。同時(shí)在練習(xí)中也可以增強(qiáng)對陳述性知識的理解。

策略2：舉一反三策略

舉一反三策略即要在教學(xué)中注重變式訓(xùn)練的作用。變式是促進(jìn)概括化最有效的方式，有效的變式訓(xùn)練不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對于程序性知識的靈活運(yùn)用能力，還可以引發(fā)學(xué)生思考，加強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

策略3：反饋評價(jià)策略

學(xué)生在練習(xí)之后最需要的就是反饋評價(jià)自己。一味的練習(xí)并不能持續(xù)的作用于程序性知識的熟練程度，應(yīng)該在每一個(gè)練習(xí)中發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤的原因，認(rèn)真分析，這樣才能增強(qiáng)程序性知識的學(xué)習(xí)。