巧用函數思想 妙解數學問題

王海青

（江蘇省鹽城市響水縣第二中學，江蘇響水 224600）

引 言

用函數思想解題，即利用函數概念、性質以及相關知識思考、分析和解決數學問題，是中學數學解題中不可或缺的思想方法和解題策略[1]。近年來，“函數熱”可謂居高不下，是高考數學考查的重點內容，在集合、方程、數列、導數、不等式等問題中均有著廣泛的應用。因此，在高中數學解題教學中，教師要培養學生的函數思想，開拓學生的解題思路，提高他們的解題能力。

一、巧用函數思想攻克方程問題

利用函數思想求解方程，往往是將方程問題轉化為函數問題。有些方程問題，若直接利用解方程的方法予以解決，難度較大，不易突破，若能用函數思想求解，則可以化難為易，使問題有效獲解[2]。因此，在高中數學教學中，教師要注意滲透函數思想，引導學生在分析和解決方程問題，尤其是含參數方程的個數問題時，要靈活轉換思維，拓寬思路，巧用函數圖像和性質，攻克方程問題。

y1=的圖像是拋物線y2=2x+1（y≥0）,

二、巧用函數思想處理數列問題

數列是高中數學課程至關重要的內容，也是一大難點問題。數列本身就是一種離散的函數，其序號為自變量，項為函數值。在處理某些數列問題時，教師要注意引導學生把握數列與函數的內在聯系和共同本質，然后利用函數思想，將數列看作特殊函數，再結合函數相關知識，使數列問題得以迎刃而解。

（2）假設n=k時命題成立，即3＜ xk+1＜ xk成立。令很明顯地，f(x)在[3，+∞)上單調遞增，令f(x)=x,求得函數f(x)的不動點是（1，1）和（3，3）。即當n=k+1時，成立，故3＜ xn+1＜ xn成立，即（1）（2）問題得證。

在解答數列問題時，教師要注意指導學生抓住數列的特征和規律，巧用函數思想，架起函數與數列之間的橋梁，從而使數列問題快速、準確地獲解。

三、巧用函數思想突破不等式問題

解不等式的實質是等價轉化，但在轉化過程中，容易出現增根、漏解以及錯解等情況。若能利用函數思想，合理構造函數，找到解題突破口，則可以避繁就簡，達到事半功倍的效果。因此，在高中數學解題教學中，在解答有關不等式問題時，教師要注意啟發學生用函數思想解決不等式問題，優化解題過程，提高解題效率。

分析：考慮到所求證的不等式中含有x、y兩個量，不妨將x看作變理，y看作參數，構造函數f(x)= xlnx+ylny-(x+y)然后再利用函數單調性即可得證。

證明：當x=y時，等號顯然成立。當x≠y時，由于x、y地位相同，可以設x＞y＞0，令f(x)=xlnx+yIny-（x+y）ln1=0，所以f(x)在（y,+∞）中為增函數，故f(x)＞f(y)，又f(y)=2ylny-2ylny=0,所以f(x)＞0，即故綜上所述，可知

函數思想在解不等式問題中有著廣泛的應用，函數與不等式的知識綜合是高考考查的重點和熱點。通過巧妙構建函數，明確函數關系，既可以使問題簡化，思路開闊，又可以避開煩瑣運算，減少計算時間，在平時的教學中，教師要注意加強這方面的訓練。

結 語

總之，函數是刻畫客觀世界中兩個變量之間相互關系的重要數學模型，它貫穿于高中數學知識的始終。在高中數學教學中，教師要不斷創新教學方法，幫助學生深刻理解和掌握函數知識，注意靈活滲透函數思想，并引導學生遷移運用函數思想，借助函數概念、性質、圖像等知識點，輕松妙解數學問題，從而夯實學生數學基礎知識，讓學生領悟數學思想方法，提高分析和解決問題的能力。