經歷抽象 引領建構

史厚勇

（江蘇省南通市城港小學，江蘇南通 226000）

引 言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“經歷數與代數的抽象……經歷圖形的抽象……”可見，抽象是數學活動中最基本的思維方法，是數學教學的主線。教師應積極引領學生經歷抽象過程，滲透抽象，體會、感悟抽象，逐漸用數學的眼光去建構數學知識，從而提升學生的數學素養。

一、經歷抽象，建構數學概念

數學概念是現實情境數學化的產物，是在數學抽象的基礎上建構。在小學數學概念教學中，應引導學生嘗試經歷數學概念的抽象過程，逐漸將數學概念從感性上升到理性，內化數學概念，讓概念刻在學生思維深處。

例如，教學蘇教版三年級上冊“認識分數”，筆者對“1/2”的引入是從一種感性具體上升到理性思維的過程，嘗試引導學生經歷“情境—表象—內涵—符號”的逐步抽象。

筆者首先從具體情境引導學生觀察教材情境圖。通過對“4個蘋果”“2瓶飲料”和“1個蛋糕”的解讀幫助學生感悟“1”是自然數的單位，為后續分數單位的順利抽象積累數學活動經驗；然后引導學生思考“把每種物品平均分成2份，每人分得多少？”學生很自然地將“4個蘋果平均分成2份，每份是2個”“2瓶飲料平均分成2份，每份是1瓶”“1個蛋糕平均分成2份，每份是半個”；學生在“平均分”的情境支撐下，對“怎樣用一個數表示半個”充滿了渴望，激活了學習動機。當學生提出用“1/2”表示時，筆者已經在潛移默化中幫助他們將感知的對象抽象成表象，他們經歷了從“實物”到“表象”的過程；筆者然后引導學生繼續分：把1個月餅平均分成2份，每份是多少？把一張長方形紙平均分成2份，每份是幾張？一個圓平均分成2份，每份是多少？……通過引導學生從眾多的事物中抽取共同的、本質的特征—“1/2個月餅”“1/2張紙”“1/2個圓”，引導學生發現：它們的數量都是“1/2”；同時對“1/2”進行本質思考：為什么這些“1/2”表示的東西不同，卻都可以用“1/2”表示，進一步幫助學生從數學意義的層面理解“1/2”，這樣“1/2”的內涵在學生頭腦中自然清晰。學生從眾多的素材中經歷“1/2”的抽象，經歷了“1/2”的內涵理解。凸顯學生抽象的結果符號化，建立符號“1/2”現實問題情境的雙向循環，使他們對“1/2”的理解更加深刻。

二、經歷抽象，建構算理算法

數學算理與算法在生活中并沒有與之相對應的現實原型，僅僅是數學量化的表現，其實質是現實原型的外部特征逐步抽象出的數學原理和操作程序[1]。在教學中，教師應該嘗試引導學生將現實原型“直觀形象”，引領他們抽象直觀，讓算理算法在他們思維深處層層推進，螺旋提升。

例如，教學蘇教版三年級下冊“兩位數乘兩位數（筆算）”。筆者創設了一個購買迷你南瓜的生活場景。學生在具體情境中，從搬運南瓜的活動中提取數學信息，為其算理理解提供情境支撐。學生從具體情境中抽象出數學問題，列出算式，此時的數學問題帶有很強的情境色彩，是學生初步抽象的數學問題；筆者然后引導學生嘗試結合情境，結合舊知經驗，討論解決問題的辦法。學生從情境中發現：可以先計算10箱迷你南瓜的數量，再計算搬運2箱的數量，二者相加后，便是12箱迷你南瓜的數量；也可以先2箱2箱的計算，再算6個2箱，得到總數。這種情境支撐下的問題解決，實際上為學生理解算理提供了直觀模型。接著，筆者引導學生用豎式解決問題。學生在用豎式計算時，是高層次的抽象，是在脫離具體情境下進行的。此時筆者將學生的語言表達與數學符號表達緊密結合，并相互轉換，引導他們借助已有經驗對兩位數乘兩位數進行描述。

三、經歷抽象，建構公式規律

數學公式的推導和規律的發現是數學對象在抽象過程中邏輯的建構，是數學思維構造性活動。在教學中，教師要引導學生經歷數學對象的抽象過程，經歷數學思維的“自由創造”過程；并在抽象過程中凸顯公式推導、規律發現，讓公式推導、規律發現烙印于學生思維深處。

例如，教學蘇教版五年級上冊“平行四邊形的面積”，筆者首先借助于不規則圖形與規則圖形的大小比較，引導學生利用割補的方法，將不規則圖形等積轉化成規則圖形，感受圖形形狀的變化；其次在此基礎上，引導學生將方格紙中的平行四邊形轉化成長方形，同時筆者提供操作活動，鼓勵他們動手實踐，在圖形直觀、圖形變換的基礎上積極開展形象思維，引導他們將具體問題“數學化”，實現數學知識的“再創造”，學生在操作中感知和體驗圖形之間的本質聯系，感悟到平行四邊形的面積、底、高這三個量的內在關系，從而實現外在的形狀抽象到內在的關系抽象的飛躍；再次筆者運用推理，利用類比和轉化等思想，引導學生溝通平行四邊形的面積與長方形的面積，經歷等積推理，實現平行四邊形面積計算的感悟；最后再引導學生將內在的關系抽象為符號，用數學符號表述平行四邊形的面積，實現平行四邊形面積推導的再次提升。

學生在筆者的引導下，經歷具體問題—數學問題—圖形關系—內在關系—符號表征的逐步抽象過程，讓平行四邊形面積公式深深烙印在他們的思維中，他們在思維的再創造、再經歷中體會抽象的價值與魅力。

四、經歷抽象，建構數學模型

數學模型是“采用形式化的數學語言，概括地或近似地表示出來的一種數學結構”。在小學數學教學中，數學問題中的數量關系和變化規律的抽象表達雖然還不能說是嚴格意義上的數學模型，但顯然已經蘊含了一定的數學模型的雛形；同時在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也指出：數學活動“應體現‘問題情境—建立模型—求解驗證’的過程”。這種抽象經歷對于小學生而言，有助于他們積累更多的數學思維活動經驗，提升他們的數學思維能力，感悟模型，為后續數學模型的建構提供感性和理性的雙重支撐。

例如，在教學蘇教版六年級下冊“解決問題的策略”時（例2：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？），筆者引導學生提出假設猜想：假設10只都是大船，假設9只大船、1只小船，假設8只大船、2只小船……學生提出的假設往往不是問題的答案，船上的總人數不是比42人多，就是比42人少，需要調整大船、小船的只數……學生在假設、調整中逐漸逼近正確的結果；筆者通過引導學生對問題解決方法進行回顧與發現，感悟到解決同一個問題雖然在方法上是多樣的，但其實質都是以假設為起點，都是在假設中通過適當的調整得到正確的結果，從而初步幫助學生建立假設模型；接著，筆者引導學生對假設策略進行“二次發現”，引導他們體驗到在假設過程中，數量之間的變化關系，在變化中尋找變化緣由，形成解題模型，巧妙解題。

學生在筆者層層引領中，在假設模型的逐步建構中，逐漸理解、完善對假設模型的認知結構，其數學能力、數學思想逐漸得到提升、得到升華。

結 語

在數學教學活動中，要在學生已有知識和經驗的基礎上，在具體數學情境中引導他們經歷抽象過程，促進他們抽象意識的形成，從而讓他們品味數學抽象的魅力，感悟抽象、建構抽象，進而促進抽象素養的提升。