多情景多視角探究生產消費中的利潤最大化問題

楊文皓

（成都實驗外國語學校西區2019屆（1）班，四川 成都 610000）

一、引言

在生產生活中，盈利是其必然目的。而隨著時代的發展與進步，生產、營銷方式趨向多元化，新材料、新技術的產生使得盈利的方式發生了改變。這不禁引發筆者的思考：每一個生產過程和銷售過程有何不同，根據這些區別與限制，又該分別建立哪種模型、采用哪種方式盈利呢？

本文將對幾類常見的生活實際現象，立足高中數學知識，采取線性規劃、函數模型的建立并求極值、探究利潤最大化問題。

二、利潤最大化的多視角分析

（一）視角1：利用線性規劃探究利潤最大化

在生產過程中，材料資源、人力資源、效率之間的有機結合十分重要，在大量的生產實例中，資源始終是有限的，如何在有限的時間內，以最少的人力，最低的材料成本，產生最大的利潤，值得我們探討。

實例：對材料進行初加工還是精加工，已成為當今生產的重點問題。某公司有材料a 300kg，有材料b 180kg，擬對材料a與材料b進行分配，已知1kg材料a，0.6kg材料b可生產1件粗加工產品，同時3kg材料a、2kg材料b可生產1件精加工產品。材料a每kg成本300元，材料b每kg成本100元，且生產一件粗加工產品需6天，1件產品人工費1天100元，產品售價2760元；生產一件精加工產品需10天，1件產品人工費1天200元，而產品售價高達7300元。限定在1200天內完成生產，則該采取怎樣的分配策略才能使利潤最大？

分析：簡化問題，除去人工費與材料成本，計算利潤。

粗加工產品1件獲利：2760-6×100-1×300-0.6×100=1800元。

精加工產品1件獲利：7300-10×200-3×300-2×100=4200元，粗加工雖人力、物力、材料消耗小，但全進行粗加工，利潤比較小，不太可取；

精加工看似利潤較高，若全進行精加工，人力、物力、材料消耗大，不太可取。

數據整理：為了體現科學性與直觀性，現列出以下列聯表

?

建立模型：設生產x件粗加工產品，y件精加工產品。

根據表格中的數據，可列出以下不等式：

甲材料消耗不超過300kg：x+3y≤300

乙材料消耗不超過180kg：0.6x+2y≤180

總生產時間不超過1200天：6x+10y≤1200

生產實際件數為整數：x∈N*，y∈N*

利潤為目標函數：Z=1800x+4200y

不等式組表示的可行域如圖所示：

由圖可得：當目標函數經過點（100，60）時，直線截距最大，目標函數取得最大值：

Zmax=1800×200+4200×120=432000（元）

（二）視角2：利用變量的關系建立函數探究利潤最大化

在生產生活中，總會出現兩個相關量變化趨勢不同的情況，此時建立函數，統一變量之間的關系，利用函數求最值的辦法即能找到利潤最大值點。

實例：成都某旅行社旅游團以乘機形式出游，旅行社訂飛機總成本12000元，飛機最多乘坐45人，旅行團中每人的飛機票有如下收費方式：若旅行社的人數多于30人，則，旅行社給每張機票減免20元作為優惠；若旅行社的人數在30人及以下，則每張機票按原價收費800元，則當機票的最大盈利為？

分析：設每張機票最終收費m元，旅行團的人數為x∈N，機票利潤為y，

將函數分為兩段討論處理：

當 1≤x≤30 時，y=800x-12000，m=800

當 30＜x≤45 時，y=（1400-20x）x-12000=-20x2+1400-12000，m=800-20（x-30）=1400-20x

分段討論函數的最值并取其最大值：

①函數在1≤x≤30單調遞增，

當 x=30時，ymax=800×30-12000=12000元

②當30＜x≤45時，令y′=-40x+1400＞0

可得30＜x＜35，即函數在30＜x＜35單調遞增，在35＜x≤45單調遞減

當x=35時，ymax=12500元

綜上所述：當旅行社有35人時，旅行社可獲得最大利潤12500元。

（三）視角3：利用統計與概率進行預測與決策，使得利潤最大化

當今消費形式大大改變，如何投消費者所好異常關鍵，精明的商家會根據以往的銷售結果進行評估，找到發展趨勢，并以此制定銷售計劃，在對變量的變化趨勢不明確甚至一無所知時，可以利用整理數據，通過了解數據的大致變化，利用求數學期望的形式進行預測與決策，適當調整售價、進價等銷售手段，實現利潤最大化。

實例1：樂山名食甜皮鴨是一類鹵制涼菜，夏天在筆者家鄉頗受人們歡迎，一般的甜皮鴨成本15元，售價25元一斤，第二天有剩余則以12元的價格處理回總部（甜皮鴨保存時間短，長時間放置喪失口感）。樂山某甜皮鴨銷售店打算從總部下訂單，每天送等量甜皮鴨，根據店主的經驗，銷量（需求量）與當天的氣溫有關．如果氣溫不低于25℃，熱天涼菜銷量好，需求量為250只；如果最高氣溫位于在20℃到25℃范圍內，需求量為150只；如果最高氣溫低于20℃，銷量較差，需求量為50只．六月份的生產計劃該怎樣進行決策，才能使得利潤最大？

分析：對于此類問題，不同的天氣對于不同需求需求與進貨量之間難以有機統一，變化不規則，可見生產生活是復雜的，不可片面研究，主觀臆斷。

為了保證數據的普遍性，統計了近三年六月份每天的氣溫，整合數據并作出如圖頻數分布表：

?

每天的銷售情況可分為 x=250、150、50（只）

估計不同天氣下的銷售情況概率為：

氣溫不低于 25℃：P（x=250）=（36+20+4）/90=2/3

氣溫在[20，25）：P（x=150）=20/90=2/9

氣溫低于 20℃：P（x=50）=（2+8）/90=1/9

則銷量x的分布列為：

?

設進貨量為m（斤），利潤為W（元）

由于銷量在50—250之間，故m范圍只需為：50≤m≤250（只）

①當50≤x≤150時：

氣溫低于20℃，則可以原價25元售出50斤，其余以12元回收總部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

氣溫高于20℃時無論是在[20，25）還是大于25℃均可賣完，則全以原價25元售出150斤：

W=25m-15m=10m

則總利潤的數學期望為：EW=1/9×（650-3m）+（2/3+2/9）×10m=77/9m+650/9

②當150≤x≤250時：

氣溫低于20℃，則可以原價25元售出50斤，其余以12元回收總部：

W=25×50+12（m-50）-15m=650-3m

氣溫在[20，25）℃，則則可以原價25元售出150斤，其余以12元回收總部：

W=25×150+12（m-150）-15m =1950-3m

氣溫不低于25℃均可賣完，則可以原價25元售出250斤：

W=25m-15m=10m

則總利潤的數學期望為：EW=1/9×（650-3m）+2/9×（1950-3m）+2/3×10m

=17/3m+4550/9

綜上：當m=150只時，EW有最大值12200/9元

故應將150只作為進貨決策。

三、視角評價

本文從三個生活中常見的例子出發，用不同的數學方法試圖去解釋其背后的數學原理，使得我們可以用嚴肅的觀點去理解身邊發生的事件，用理性的思維去理解事件背后的規律。對同一個問題，本文給出了一種典型的數學分析方法，并不是說僅僅只有這樣的方法才可以去探究，從事件不同的角度去理解，就會有不同的方法來建立數學模型。本文的方法可以用來參考。

在視角1中，對于分配資源、投料等實際調度問題，且不可主觀臆斷，采取極端生產方式并不能達到利潤最大化，而利用數學建模，采取線性規劃，可以求出最優解所在位置，更加準確地進行參考。

線性規劃具有較好的幾何直觀性，可以在條件約束的情況下，對目標方位進行圖形化描述，根據幾何意義和邊界條件，進行直觀的求解，并且能迅速的找出目標點。因此該方法是類似于條件極值的一種思維方法。

在視角2中，對于多變量的盈利問題，我們應找到量與量之間的變化與制約關系，進而借助函數武器求極值，找到利潤最大值點，在實際問題中還要考慮函數模型的定義域，做到準確、有實際意義。

該方法將極值放在函數的觀點之中，借助函數的靈活性，從具體上升到抽象去研究極值點的存在與否，用函數的研究方法去解決利潤問題，利潤最大化的問題實際上就是函數的極大值是否存在，在什么條件下存在的問題。

在視角3中，對于實際銷售方案類決策問題，往往各個量的變化方向不明確，受外界影響較大，此時應該根據以往的數據進行分析與統籌，采取數學期望或利用樣本的回歸直線大致估計發展趨勢，較為準確的判斷利潤最大值點的位置。

對決策類問題，由于條件之間的關系不如線性規劃類清晰，因此需要根據已知的數據，提取關鍵信息，具體的方法包括利用概率論觀點進行參數估計，或者對已知數據進行函數擬合，根據擬合出的函數進行推測，這樣的方法在沒有明確的數學規律的情況下，是比較有效的科學的分析方法。

四、總結與展望

利潤最大化的方式遠不止這幾種，在發展的時代中，大數據統計、分析正走進我們生活，利用好所學的數學知識幫助我們實現利潤最大化即彰顯了數學之美，又與時代和生活息息相關。我們在數學學習過程中更應該注意與生活的聯系，脫離題海，真正把數學代入社會，我們必將感受到數學的獨特魅力。

下一步的工作，是綜合利用不同的數學工具，對問題從不同的角度去分析，用多種方法不同角度分析的好處，是可以互相印證方法的科學性和評價結果的可信度。隨著數學方法的發展，分析具體問題的途徑也會越來越靈活。