基于四旋翼飛行仿真器的控制系統(tǒng)研究

（江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，控制理論和控制算法被廣泛的應(yīng)用在軍事、航空航天和民用等眾多研究領(lǐng)域，且控制系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜。強(qiáng)耦合、多變量、時(shí)變參數(shù)和高精度等性質(zhì)的控制問題已經(jīng)不再適合使用經(jīng)典控制方法來實(shí)現(xiàn)，它的局限性在于只適合單輸入輸出的線性定常系統(tǒng)，很難實(shí)現(xiàn)對(duì)多輸入輸出線性定常系統(tǒng)的控制，更不適合于時(shí)變的非線性系統(tǒng)。四旋翼飛行器[1]是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合和多變量的非線性系統(tǒng)，其控制系統(tǒng)是無人機(jī)[2,3]研究領(lǐng)域的重點(diǎn)，吸引了國(guó)內(nèi)外大量的研究人員對(duì)四旋翼飛行器的建模和控制算法研究。常用的控制算法有PID[4,5]控制、線性二次型調(diào)節(jié)（LQR）控制[6,7]、反步法控制[8]、滑膜變結(jié)構(gòu)控制[9]、模糊控制[10]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[11]等。PID控制因?yàn)椴恍枰_的模型和控制規(guī)律，易于實(shí)現(xiàn)等原因被廣泛的運(yùn)用，但是其存在抗干擾差、魯棒性弱等問題。LQR控制具有穩(wěn)態(tài)誤差小和較好的魯棒性，但是其有一定的延遲性。而反步法控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制需要使用具有較高性能的微控制器進(jìn)行對(duì)其進(jìn)行大量的計(jì)算。

本文在上述研究的控制算法的基礎(chǔ)上，將PID控制和LQR控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種雙回路的四旋翼飛行姿態(tài)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)四旋翼飛行仿真器的姿態(tài)控制，并通過實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了控制系統(tǒng)的有效性。

1 建立數(shù)學(xué)模型

四旋翼飛行仿真器是一個(gè)適用于自動(dòng)控制理論研究和航空航天系統(tǒng)研究的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)仿真平臺(tái)，其可以模擬飛行器在空中的飛行姿態(tài)，是一個(gè)具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性等特性的系統(tǒng)研究平臺(tái)。其安裝在萬(wàn)向節(jié)軸上的四個(gè)帶螺旋槳的電機(jī)為四旋翼飛行仿真器提供了上升或下降的動(dòng)力，來實(shí)現(xiàn)仿真器平臺(tái)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。前向、左側(cè)、右側(cè)三個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)其對(duì)應(yīng)的螺旋槳來實(shí)現(xiàn)仿真器平臺(tái)的俯仰（pitch繞y軸旋轉(zhuǎn)）運(yùn)動(dòng)；左側(cè)、右側(cè)兩個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)其對(duì)應(yīng)的螺旋槳來實(shí)現(xiàn)仿真器平臺(tái)的橫滾（roll繞x軸旋轉(zhuǎn)）運(yùn)動(dòng)；后向電機(jī)驅(qū)動(dòng)其對(duì)應(yīng)的螺旋槳來實(shí)現(xiàn)仿真器平臺(tái)的偏航（yaw繞z軸旋轉(zhuǎn)）運(yùn)動(dòng)。由安裝在仿真器平臺(tái)上的三個(gè)編碼器來檢測(cè)姿態(tài)角形成反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，以此來實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼飛行仿真器的俯仰角、橫滾角和偏航角三種姿態(tài)角的精準(zhǔn)定位。

1.1 動(dòng)力學(xué)分析

圖1 四旋翼飛行仿真器實(shí)物圖及原理

依據(jù)四旋翼飛行仿真器建立其三維坐標(biāo)系，建立的坐標(biāo)系如圖1所示。其中，坐標(biāo)的原點(diǎn)為支撐點(diǎn)，X軸為對(duì)應(yīng)的指向前向電機(jī)的軸，Y軸為對(duì)應(yīng)的指向右側(cè)電機(jī)的軸，Z軸的正方向則利用左手定則確立。并定義前向、左側(cè)、右側(cè)電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力與Z軸同向?yàn)檎笙螂姍C(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力與Y軸同向?yàn)檎f、Fl、Fr、Fb前向、左側(cè)、右側(cè)、后向電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力。

為了便于數(shù)學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)分析，根據(jù)四旋翼飛行仿真器的系統(tǒng)特點(diǎn)，簡(jiǎn)化過程將其近似為一個(gè)線性系統(tǒng)并做下述假設(shè)：

1）假設(shè)仿真器是剛體，且重心位置和幾何中心重合；

2）假設(shè)仿真器處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，重心的位置在偏航軸上且三個(gè)姿態(tài)角為零，并忽略摩擦力和旋翼阻尼力矩；

3）假設(shè)旋翼旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力為一個(gè)線性系統(tǒng)，正反轉(zhuǎn)產(chǎn)生同樣的力，并忽略旋翼達(dá)到指定轉(zhuǎn)速的時(shí)間；

下面根據(jù)四旋翼飛行仿真器，建立其笛卡爾坐標(biāo)下俯仰角、橫滾角和偏航角的三個(gè)姿態(tài)角的力矩平衡模型：

（1）俯仰角力矩平衡方程：

對(duì)飛行仿真器的俯仰角做靜平衡受力分析如圖2所示。

圖2 俯仰角受力分析圖

飛行仿真器進(jìn)行俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)，左右側(cè)電機(jī)力力為正，前向電機(jī)力為負(fù)，選取前向電機(jī)向下的運(yùn)動(dòng)夾角為俯仰角的正方向，并建立方程：

其中：Lc=Lfcosθ；F=KfcV，則得到：

（2）橫滾角力矩平衡方程：

對(duì)飛行仿真器的橫滾角做靜平衡受力分析如圖3所示。

圖3 橫滾角受力分析圖

飛行仿真器進(jìn)行橫滾運(yùn)動(dòng)時(shí)，左側(cè)電機(jī)力力為正，右側(cè)電機(jī)力為負(fù)，選取右側(cè)電機(jī)向下運(yùn)動(dòng)夾角為橫滾角的正方向，并建立方程：

其中：La=Lfsinθ，則得到：

（3）偏航角力矩平衡方程：

飛行仿真器進(jìn)行偏航運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)作比較簡(jiǎn)單，只有后向電機(jī)控制其繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)來影響偏航角。因此以其初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)，繞Z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的方向則為橫滾角的正方向，并建立方程：

化簡(jiǎn)為：

為保證飛行仿真器懸停時(shí)系統(tǒng)靜平衡，在前向臂上增加配重，并設(shè)各部分質(zhì)量近似為一質(zhì)點(diǎn)，得到三個(gè)姿態(tài)角的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

綜合上述式(1)、式(2)、式(3)，則三個(gè)姿態(tài)角力矩平衡方程為：

1.2 建立狀態(tài)方程

根據(jù)式(5)姿態(tài)角力矩平衡方程，從中可以看出四旋翼飛行仿真器有三個(gè)姿態(tài)角輸出和四個(gè)電機(jī)電壓控制輸入，其中俯仰角和橫滾角具有相互耦合的關(guān)系。對(duì)其進(jìn)行解耦處理，定義三個(gè)輸入向量u=[u1，u2，u3]T，且按照如下關(guān)系式進(jìn)行控制量分配：

為了簡(jiǎn)化控制模型，達(dá)到跟蹤期望值的目的，選定六個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量，狀態(tài)變量系統(tǒng)輸入為輸入量u=[u1，u2，u3]T，系統(tǒng)的輸出量為三個(gè)姿態(tài)角，則輸出y=[p，r，y]T。建立四旋翼飛行仿真器模型的六狀態(tài)空間表達(dá)式：

其中系數(shù)矩陣為：

根據(jù)四旋翼飛行仿真器的具體材料特性和實(shí)際測(cè)量結(jié)果，飛行仿真器的相關(guān)物理參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼飛行仿真器參數(shù)

2 系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)了一種由PID控制姿態(tài)角外回路和LQR（線性二次型）控制姿態(tài)角速率內(nèi)回路，兩個(gè)控制器共同組成雙回路的姿態(tài)控制器，來實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼飛行仿真器的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

2.1 內(nèi)回路控制設(shè)計(jì)

LQR即線性二次型，是一種線性的最優(yōu)控制。系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，則選取由狀態(tài)變量和控制變量組成的二次型積分函數(shù)作為指標(biāo)函數(shù)。通過確定最佳的控制輸入，使得性能指標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值來實(shí)現(xiàn)對(duì)控制系統(tǒng)的最優(yōu)化控制器設(shè)計(jì)。

本文運(yùn)用LQR控制方法分別設(shè)計(jì)三個(gè)姿態(tài)角速率內(nèi)回路控制器，將狀態(tài)變量的誤差作為一個(gè)新的狀態(tài)變量加入到系統(tǒng)中，通過對(duì)控制器的設(shè)計(jì)使誤差變?yōu)榱悖箍刂葡到y(tǒng)達(dá)到準(zhǔn)確跟蹤參考輸入量。根據(jù)四旋翼飛行仿真器的狀態(tài)空間表達(dá)式(6)，設(shè)系統(tǒng)的參考輸入量為i，系統(tǒng)的待跟蹤輸出為q，且q=Ccx，則誤差e=i-q。將誤差e作為一個(gè)狀態(tài)變量添加到系統(tǒng)中，則擴(kuò)展得到的新系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：

控制性能泛函J最小，則構(gòu)造一個(gè)Hamilton函數(shù)。

當(dāng)輸入量不受約束時(shí)，則對(duì)Hamilton函數(shù)求導(dǎo)并令其函數(shù)的值為0：

求得最小值，因此得到最優(yōu)控制信號(hào)：

λ可由下式求出：

P可由Riccati方程求出：

圖4 姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR控制框圖

進(jìn)行LQR控制器設(shè)計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的整體控制性能受加權(quán)矩陣Q各主對(duì)角系數(shù)的影響很大。當(dāng)偏重于輸出時(shí)，增大Q的參數(shù)；當(dāng)需減小控制輸出時(shí)，則增大R的參數(shù)。在調(diào)試過程中，為實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制，在輸出和控制輸出之間找到一個(gè)最佳平衡點(diǎn)后，運(yùn)用Matlab軟件提供的函數(shù)lqr（），并輸入狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A和控制矩陣B，以及加權(quán)矩陣Q和R，求出最優(yōu)反饋增益矩陣K陣。

2.2 外回路控制設(shè)計(jì)

在控制算法研究領(lǐng)域中，PID控制是一種基礎(chǔ)的控制算法，因其具有易于操作，原理結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，適應(yīng)性強(qiáng)，響應(yīng)速度快，對(duì)模型要求不精確等特點(diǎn)，一直被廣泛地使用。為了系統(tǒng)的實(shí)際控制要求，使用一些經(jīng)驗(yàn)法則：把PID控制當(dāng)作是PI控制和PD控制的組合，PI控制能夠抑制系統(tǒng)的高頻噪聲，并改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；PD控制可以改善過高的超調(diào)量，同時(shí)適當(dāng)?shù)脑黾禹憫?yīng)速度。

本文在運(yùn)用LQR控制飛行仿真器的三個(gè)姿態(tài)角速率內(nèi)回路的基礎(chǔ)上，使用PID控制中的PI控制其三個(gè)姿態(tài)角的外回路，兩個(gè)控制器組成雙回路姿態(tài)控制系統(tǒng)。PI控制能夠包裹住系統(tǒng)中的未知干擾，從而進(jìn)行高精度的姿態(tài)角控制。則四旋翼飛行仿真器三個(gè)姿態(tài)角整體的控制回路框圖如圖5所示。

圖5 姿態(tài)角整體回路控制框圖

姿態(tài)角的控制表達(dá)式為：

經(jīng)過Lapalce變化得傳遞函數(shù)為：

在進(jìn)行實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)時(shí)，根據(jù)其二階系統(tǒng)最優(yōu)阻尼比原則，可以確定姿態(tài)角外回路PI控制的Kp（比例系數(shù)）和Ki（積分系數(shù)）。

3 實(shí)時(shí)控制分析

四旋翼飛行仿真器實(shí)時(shí)控制使用的軟件為Matlab/Simlink，采用軟件中的實(shí)時(shí)工具箱RTW（Real-Time Workshop）來實(shí)現(xiàn)對(duì)其控制任務(wù)，其中的Real time control模塊就是系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制子模塊，其中包含了控制信號(hào)輸出模塊和編碼器采樣模塊。根據(jù)式(6)四旋翼飛行仿真器的狀態(tài)空間模型，從中提取有關(guān)參數(shù)，取增益矩陣Kp=[1.56，2.60]，Kr=[0.77，1.27]，Ky=[0.58，1.05]，取PI控制器參數(shù)為Kp1=3.500，Ki1=0.200；Kp2=3.200，Ki2=0.150；Kp3=3.400，Ki3=0.258；在Matlab/Simlink中搭建飛行仿真器的姿態(tài)角實(shí)時(shí)控制模型如圖6所示。

圖6 姿態(tài)實(shí)時(shí)控制模型

圖7 姿態(tài)角速率階躍響應(yīng)

圖8 兩種控制階躍響應(yīng)

當(dāng)對(duì)四旋翼飛行仿真器采用姿態(tài)角外回路PID控制和姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR雙回路控制系統(tǒng)時(shí)，三個(gè)姿態(tài)角的角速率回路階躍響應(yīng)曲線如圖7所示，姿態(tài)角速率的內(nèi)回路控制超調(diào)量很小，而且能夠很快跟上輸入量，達(dá)到控制效果。根據(jù)LQR控制率，對(duì)于姿態(tài)角內(nèi)回路的干擾，系統(tǒng)增加誤差為狀態(tài)變量，使得姿態(tài)角速率響應(yīng)會(huì)快速達(dá)到目標(biāo)位置。圖8為分別對(duì)四旋翼飛行仿真器采用LQR控制和PID與LQR結(jié)合的雙回路控制時(shí)，系統(tǒng)平臺(tái)的階躍響應(yīng)曲線。由此曲線可以看出，PID與LQR結(jié)合的雙回路控制系統(tǒng)響應(yīng)速度快，且相對(duì)具有很明顯的提高。三個(gè)姿態(tài)角的穩(wěn)定時(shí)間短，調(diào)節(jié)時(shí)間均為2S左右，且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高，具有較好的魯棒性且超調(diào)量相對(duì)較小，控制性能優(yōu)于LQR控制。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于四旋翼飛行仿真器，設(shè)計(jì)了PID控制姿態(tài)角外回路和LQR控制姿態(tài)角速率內(nèi)回路的雙回路控制器系統(tǒng)。姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR控制充分利用了其穩(wěn)態(tài)誤差小和魯棒性較好的優(yōu)點(diǎn)；姿態(tài)角外回路PID控制引入PI控制，充分發(fā)揮了其不需要精確模型的特性；通過實(shí)時(shí)控制分析，本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)解決了單一控制回路的抗干擾差、魯棒性弱和具有延遲性的問題，具有品質(zhì)良好的控制性能。