基于變分模態分解和極限學習機軸承壽命預測

（河南理工大學 物理與電子信息學院，焦作 454000）

0 引言

滾動軸承是機械設備傳動系統的關鍵部件，其性能的好壞決定著設備的工作性能的優劣。隨著機械設備的結構越來越復雜，工作要求也越來越精細，一旦關鍵部件發生故障，可能破壞整個設備甚至造成人身安全事故[1]。因此，對機械設備的關鍵部件剩余壽命的預測可以及時制定維修計劃，可以保障設備工作性能和避免惡性事故發生，提高經濟效益。

傳統的機械設備的剩余壽命預測有基于模型的方法、概率統計的方法和數據驅動的方法?；谀Ｐ偷姆椒ň哂猩钊雽ο蟊举|的特點，能夠跟蹤系統的變化趨勢。但工程上復雜的動態系統難以建立精確的數學模型，適用范圍小，成本高[2]?；诟怕式y計的預測方法是依據系統的歷史數據建立各參數變化與故障損失模型的概率模型和知識庫，設備當前多參數概率狀態空間與建立的概率模型比較進行壽命預測，該方法需要大量歷史數據。對于復雜高精度設備缺少歷史數據[3]。

基于數據的方法完全從工程現場數據出發，挖掘采集信號的隱含信息，具有廣泛的應用價值。該方法應用范圍廣、成本較低,是故障診斷的和預測領域的研究熱點和趨勢[4～6]。

但數據驅動的方法存在數據不足的缺陷[7]，且在不同工況環境下設備的失效機理會改變，直接預測表征對象系統退化程度的健康因子[8]值會有差異。

軸承的剩余壽命預測是基于其劣化趨勢的預測，對表征軸承健康狀態的特征指標變化趨勢的預測是軸承壽命預測的前提。近幾年，國內外學者對基于數據驅動軸承的趨勢方法進行了大量的研究，提出了能量熵[9,10]表征軸承退化過程預測，基于數據的預測方法包括灰色預測[11]、隱馬爾科夫模型、機器學習[12]（支持向量機/神經網絡/極限學習機[13]）等。本文構建了以基于變分模態分解的譜熵特征作為描述軸承性能的健康指標，具有良好的魯棒性。針對健康指標的非平穩特征，挖掘了數據樣本的深層次隱含信息，提取了時間序列的趨勢項，提出了將變分模態分解和極限學習機結合的預測模型，并用實例驗證有良好的預測效果。

1 ELM和VMD基本原理

1.1 ELM模型

極限學習機是黃廣斌依據廣義逆矩陣理論提出的一類性能優良的新型單隱含層前向型網絡[14]。與傳統神經網絡相比，僅通過一步計算即可解析出網絡的輸出權值，極大提高了網絡的泛化能力和學習速度，具有較強的非線性擬合能力，計算量和收索空間大大降低。L個隱含層節點的單隱含層前饋神經網絡（Single-hidden Layer Feedforward Neural Network，SLFN）回歸模型可表示為：

式中：wi∈Rn和bi∈R為SLFN隱含層中的參數，βi∈Rm為連接第i個隱含層節點和輸出層節點的權值。G（wi, bi, x）表示第i個隱含層節點關于輸入x的輸出，當隱含層為加性隱節點時，則：

式中：wi為連接輸入層和隱含層第i個節點的權值，bi為隱含層第i個節點的偏差，g(.)為激活函數。

將式(3)寫成矩陣形式：

式(4)中：

H為極限學習機的隱含層輸出矩陣；Y為期望輸出向量。

ELM模型對參數和采用隨機賦值方式，βi通過訓練樣本集{(xi,yi)}Ni=1可得：

式中：H?表示H的摩爾-彭洛斯（Moore-Penrose）廣義逆。假設HTH為非奇異矩陣，則H?=(HTH)-HT，β*=(HTH)-1HTY。

ELM算法簡單，只需要確定隱含層節點數和激活函數，隨機設置輸入層和隱含層連接權值w和隱含層的閾值b，便可按式(5)求出輸出權值βi。

1.2 VMD模型

1.2.1 VMD原理

在VMD算法中，本征模態函數（Intrinsic Mode Function，IMF）被重新定義為一個調幅-調頻信號，VMD算法的目標是通過構造并求解約束變分問題將原始信號分解為指定個數的IMF分量[15]。假定欲將一個信號f分解為k個IMF分量，相應的變分問題構造過程可概述如下：

1）對于每一個IMF分量μk(t)，通過Hilbert變換得到其解析信號，得到單邊頻譜：

2）對各模態解信號混合一預估中心頻率e-jωkt，將每模態的頻譜調制到相應的基頻帶：

3）計算以上解調信號梯度的平方L2范數，計出各模態信號帶寬，約束的變分問題如下：

其中：μk=(μ1,…,μk),代表分解得到的k個IMF分量；表示各分量的中心頻率。

1.2.2 VMD模型求解

1）引入拉格朗日乘法算子λ(t)和二次懲罰因子α，將約束性變分問題變成為非約束變分問題。增廣的拉格朗日表達式如下式：

2）將式(14)從時域變換到頻域，并進行相應的極值求解得到模態分量μk和。

然后，利用乘法算子交替方向法求約束變分模型的最優解，將原始信號分解為K個模態分量。VMD算法的實現步驟如下：

3）更新 ：

2 VMD-ELM模型預測流程

2.1 狀態特征提取

對原始信號進行VMD分解，獲得不同尺度的信號分量di(i=1，2，…，n)，計算各尺度下能量值En，可得由此引入VMD形態分解能譜熵定義：

計算軸承變分模態能譜熵HMMES組成健康指標時間序列：

式中：HMMES(k)是第k組樣本的VMD能譜熵。

2.2 VMD-ELM模型預測流程

軸承預測建模過程如下：

1）對軸承振動信號處理，求解原始振動信號變分模態譜熵，構建軸承健康指標時間序列。

2）采用VMD算法對軸承歷史健康狀態指標（VMD能譜熵）連續時間序列分解，得到健康指標時間序列的各模態分量IMF。

3）計算每個IMF相對于原始數據的相關系數，選擇滿足相關系數最大的IMF分量作為時間序列的趨勢項建模預測。相關系數公式如下：

其中，HkMMES(i)為第k個IMF分量i點。

4）初始化ELM模型參數，對選擇后模態分量預測趨勢。預測模型流程圖如圖1所示。

3 實例驗證

圖1 VMD-ELM模型預測流程圖

為驗證本文所提方法在預測軸承劣化過程的有效性，數據采用了IEEE PHM 2012 Prognostic Challenge中的Bearing1-1全壽命數據集合。主軸轉速為1400r/min，外加載荷為4.0kN。軸承啟動運行直到振動信號幅值超過20g，停機實驗，認為壽命結束。軸承的采樣頻率為25.6kHz，采樣間隔時間10s，獲得全壽命周期振動信號，數據長度為2560，共2188組。根據實驗分析，從第813組數據對應時刻起，軸承進入劣化階段，所以選取第813組到2188組數據作為研究對象，共1376組數據。提取出原始振動信號的變分模態譜熵HMMES，組成表征軸承狀態變化趨勢的時間序列。ELM對前488組時間序列點擬合，訓練樣本為{(ti, HMMES(i))}488i=1，求出ELM模型的參數，建立預測模型，其中ti=i。當健康指標達到設定閾值0.55時，計算預測步數n或達到軸承實際壽命步數時，停止運算并輸出相應的健康指標數。對每組振動信號進行VMD分解，參數K=7，激勵函數類型為sigmoid。

3.1 預測步驟

變分模態譜熵的VMD-ELM模型預測步驟如下：

1）等時間間隔采集待測軸承的原始振動信號，時間間隔為t=10s。

2）對每次采樣的原始振動信號進行VMD分解，獲得不同尺度的信號分量μk=(μ1,…, μk)，并計算各尺度下能量值E=[E1,E2,…,Ek]。按式(13)計算變分模態能譜熵HMMES組成健康指標時間序列

3）對歷史數據健康指標序列VMD分解，得到健康指數時間序列的低頻趨勢項[16]，分解結果如圖2所示。

4）采用相關系數法對IMF進行篩選，不滿足相關系數要求的剔除。

5）以選擇后的歷史健康指標序列趨勢項訓練樣本訓練預測模型ELM，并預測趨勢項時間序列。

圖2 健康指標時間序列的模態分量圖

3.2 預測結果

采用ELM和VMD-ELM模型預測結果如圖3、圖4所示。

圖3 ELM模型預測結果

圖 4 VMD-ELM模型預測結果

ELM預測模型直接以原始健康指標時間序列作為訓練樣本，無法較好地預測軸承的劣化逐漸加速趨勢。壽命結束時，ELM模型的預測閾值為0.65，無法準確預測該時刻的軸承健康指數。

表1 VMD-ELM預測結果

4 結論

1）基于變分模態分解的能譜熵能有效的表征軸承劣化趨勢，可以作為表征軸承狀態的健康因子。

2）表征軸承狀態的健康因子的時間序列，其激勵源包含了劣化過程的趨勢項和高頻的周期項。對非線性復雜時間序列的變分模態分解能有效地提取趨勢項，實例表明VMD-ELM模型對軸承的健康指數趨勢預測，有效果地預測了軸承的剩余壽命。