利用概率解決“游戲是否公平”類問題

楊 波

判斷游戲公平與否，關鍵是根據規則用“樹狀圖”或者“列表法”算出各自的概率，概率均等，則游戲公平，否則就不公平.設計游戲規則時，應先根據題意求出隨機事件的各種可能出現的情況的概率，再根據其中概率相等時的情況設計公平的游戲規則，也可根據概率不相等時的情況設計公平的游戲規則.為了幫助同學們更好地理解，本文選取教材中具有代表性的習題進行分析，總結解題規律，并舉例由此改編的中考題.

蘇科版《數學》九年級上冊4.3習題第3題：

如圖1，A轉盤的4個扇形的面積相等，B轉盤的6個扇形的面積相等，有人設計了如下游戲規則：甲、乙兩人分別任意轉動轉盤A、B各一次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的2個數字相乘.如果所得的積是偶數，那么甲獲勝；如果所得的積是奇數，那么乙獲勝.

（1）你認為這樣的規則公平嗎？為什么？

（2）如果不公平，請設計一個你認為公平的規則，并說明理由.

圖1

【解析】根據題意畫出樹狀圖.如圖2所示，所有出現的等可能結果有24種，其中積為偶數的有18種結果，積為奇數的有6種結果.因此積為偶數的概率為，積為奇數的概率為，所以游戲規則不公平.

新游戲規則：把所得的兩個數相加，若和為偶數，則甲勝；若和為奇數，則乙勝.（答案不唯一）

圖2

【點評】本題主要考查概率與公平性、用樹狀圖計算概率.

根據題意畫出樹狀圖，求出“積為偶數”和“積為奇數”兩種情況的概率.若概率相同，則游戲公平；若概率不相同，則游戲不公平，需要修改游戲規則使游戲公平.

例1 （2018·浙江嘉興）小明和小紅玩拋硬幣游戲，連續拋兩次，小明說：“如果兩次都是正面，那么你贏；如果兩次是一正一反，則我贏.”小紅贏的概率是_____，據此判斷該游戲______（填“公平”或“不公平”）.

【解析】所有可能出現的結果如下表所示：

正反正 反（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）

例2 （2018·山東青島）小明和小亮計劃暑期結伴參加志愿者活動.小明想參加敬老服務活動，小亮想參加文明禮儀宣傳活動.他們想通過做游戲來決定參加哪個活動，于是小明設計了一個游戲，游戲規則是：在3張完全相同的卡片上分別標記4、5、6三個數字，一人先從3張卡片中隨機抽出一張，記下數字后放回，另一人再從中隨機抽出一張，記下數字，若抽出的兩張卡片標記的數字之和為偶數，則按照小明的想法參加敬老服務活動，若抽出的兩張卡片標記的數字之和為奇數，則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

【解析】不公平，列表如下：

10 11 12小明小亮 和6 5 9 1 0 4 5 6 4 8 9 1 0 11

由表可知，共有9種等可能結果，其中和為偶數有5種結果，和為奇數有4種結果，所以按照小明的想法參加敬老服務活動的概率為，按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動的概率為，因為≠，所以這個游戲不公平.