合理引入參數，提高運算速度

郭煒

在解決解析幾何相關問題時常常需要合理引入參數，以便迅速發現解題思路，減少運算量，提高解題速度.常見的設參方式有：①點參數；②斜率參數；③角參數；④線參數；⑤截距參數等，請看以下三個例子.

一、熟練運用“斜率參數”

解題反思 解法一使用“斜率參數”，參數只有1個，雖有較大的運算量，但思路清晰，應該很有信心做下去，而且通過直線MN垂直于z軸這一特殊位置，很容易猜想出該定點坐標，把探究題化歸為證明題，可以進一步降低運算量.解法二使用“點參數”，參數量較多，思維量也較大，需要具備較強的綜合分析問題的能力，運算量也較大，對于算理的要求也比較高.

二、合理運用“點參數”

分析1 將四邊形的面積分割成兩個三角形△AEF和△BEF.這種分割需要以EF為底，以A，B到EF的距離為高，表示三角形面積，這就要知道直線EF的方程，可以考慮“斜率參數”.

分析2 如果把四邊形分割成△AEB和△AFB，因為已知點A，B的坐標，易得AB長度和直線AB的方程，要得到E，F到AB的高，可以用“點參數”設出點E的坐標.

解題反思 通過解答過程可發現本題利用“點參數”表示三角形面積比用“斜率參數”表示面積更方便，用“點參數”把面積表示出來后出現了關于x₀，y₀二元一次式子的最值問題，再用“角參數”表示出點的坐標，轉化為三角函數的最值問題，則可進一步簡化計算，遇到與面積相關的問題，通過分割后，三角形的底和高有時可用坐標表示，比較簡單，所以一般用“點參數”比用“斜率參數”更容易表示出面積.

三、靈活運用“線參數”例3如圖3，某工業園區是半徑為10 km的圓形區域，離園區中心O點5km處有一中轉站P，現準備在園區內修建一條筆直公路AB經過中轉站.為方便交通，準備過中轉站P在園區內再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值，

解題反思 一些同學在解決此問題時以o為原點，以OP為y軸建立平面直角坐標系，然后選擇以直線AB的斜率k為參數（需對斜率不存在的情況進行討論），用弦長公式分別表示出AB，CD的長度，從而AB+CD的長度就化歸為關于斜率k的雙根式函數問題.由于目標函數比較復雜，只有個別同學能夠通過平方、換元得出最終答案.通過本例可發現在圓中經常選擇弦心距為參數建模.一般地，當變化是由某線段引起的，經常選擇線段長為參數，即“線參數”.

通過對以上三個問題的研究，我們發現，合理選取參數，對提高解析幾何題的運算速度至關重要.同學們在復習中要注意比較，注重積累，不斷優化.