例談通法之外的第二手段

李宏銘

解題方法的主體無(wú)疑是通性通法，但是你遇到的問題可能并不都是“標(biāo)準(zhǔn)化的”.當(dāng)通性通法受阻之時(shí)，你肯定渴望一種別開生面的方法出現(xiàn)，達(dá)到石破天驚的效果，而這樣的方法往往真的存在，這就是本文要介紹的第二手段.

一、基本不等式求最值時(shí)的“非 標(biāo)準(zhǔn)”問題 用基本不等式求二元變量的最大（小）值時(shí)，如果是標(biāo)準(zhǔn)的“一正二定三相等”問題，自然毫無(wú)困難.但是如果條件不具備，比如不是正數(shù)、沒有定值或者等號(hào)不能成立等，怎么辦呢？轉(zhuǎn)化為正數(shù)、湊出定值是容易想到的.但是化為一元函數(shù)是更重要的第二思路.

二、基本量不能全部求出的問題

數(shù)學(xué)中有一個(gè)普遍的策略就是基本量，即把問題基本要素都確定下來，從而使所有的量都變得可解，比如等差（比）數(shù)列中的a₁和d（q）、橢圓中的a，b，c等都是基本量，常規(guī)思路就是列出方程組求出這些值.但有時(shí)這個(gè)目標(biāo)不能或很難實(shí)現(xiàn)，便需要第二或第三手段了，比如找到基本量之間的關(guān)系式、設(shè)而不求、利用性質(zhì)或線性規(guī)劃等等.

說明 例2中的相互制約條件不足以將a₁，d求出，a₁，d不是兩個(gè)獨(dú)立的變量，于是看作線性規(guī)劃問題或整體利用不等式性質(zhì).例3中的限制條件為非線性的，不能運(yùn)用線性規(guī)劃來處理，但是條件為關(guān)于a₁，q的不等關(guān)系，因此利用等比數(shù)列的性質(zhì)處理.

三、目標(biāo)函數(shù)不容易構(gòu)造的問題

在動(dòng)態(tài)的過程中求某個(gè)量的范圍，一般是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域問題.但是有時(shí)候目標(biāo)函數(shù)難以構(gòu)造或者雖能構(gòu)造卻難以求解，特別是有兩個(gè)或兩個(gè)以上自由量的問題，就更難以處理.這時(shí)可以借助于圖形，或者把動(dòng)點(diǎn)化歸到定點(diǎn)上，減少變量的數(shù)目.

解析 本題P，A，B三個(gè)均為動(dòng)點(diǎn)，若運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的計(jì)算公式，將模表示為函數(shù)，運(yùn)算量較大，而且其中有3個(gè)自由變量，超出我們的應(yīng)對(duì)能力.但考慮到C₁，C₂是定點(diǎn)，從幾何意義出發(fā)則很容易“看出”結(jié)果來.

說明 本題也可以求出兩直線交點(diǎn)，再將PA·PB表示為f（m）的表達(dá)式求解，但運(yùn)算量太大.

數(shù)學(xué)解題離不開化歸，能化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題固然好，不能的話也應(yīng)該化歸到自己所熟悉的問題上去，顯然，你所“熟悉”的問題或方法越多，就處于越有利的地位，這就是我們講究第二手段甚至第三手段的初衷.