應用題，過三關

余建國

不懂音樂理論仍可以唱歌，不學機械力學照樣可以獲得熟練的手藝與實驗技能，但是為什么我懂數學卻不會解數學應用題呢？這是很多面臨高考的同學在一次又一次模考時面對應用題總是一頭霧水的感嘆.不要急，讀完本文，你就可以變成既懂樂理又會唱歌的歌手了.

一、起筆要過三道關

那么，應用題的“樂理”在哪里呢？我們知道，數學學習的重要目的是應用，是解決問題，我們已習慣于解決滿是數學術語和符號的、純粹的數學習題，對那些來自生活實際的原型問題反而陌生了，而從原型到模型有一個識別理解、抽象概括的思維過程，最后從模型到數學模型還有一個加工過程——數學化.因此，為了順利解答高考數學應用題，考生必須過好三關，即心理關、閱讀關和建模關.

“拿下應用題你就雙腳踏進大學門了”，老師這話一點不假.應用題后面通常是函數與導數、數列兩個壓軸題，對中等生來說得分也不多了，所以老師主要是鼓勵你，想不到我們同學把這話當負擔了.這心理關要過！實事求是地講，正如前面所述，考試中的應用題只是將某個數學模型還原為原型，即用具有一定實際意義的情境包裝一下（此時，離真正的原型還是有距離的），考生要做的是拆開包裝、露出真容——讀懂題意，引入字母，抽象概括，建立模型.下面和同學們重點聊聊如何闖過閱讀關和建模關，

正因為需要“還原”，通常應用題是字數最多的考題，并且出現若干同學們不太熟悉、難于理解的“專業”術語，如下文例題中的“政府補貼”、“市場平衡價格”、“冷軋機”、“減薄率”等，顯然.應用背景與我們的生活聯系越緊難度就小，反之難度大；閱讀量與難度成正比.所以，過好閱讀關需要耐心讀題，畫出“專業”術語，回憶自己的知識結構中與之相關的閱歷，將術語放到整個題目中去理解，一般來說，如果真的出現冷僻的術語，可能課本中出現過或者生活中見過，例如，“單利”、“復利”在數列學習中介紹過，又如菜場現場加工面條的機器就是簡單的“冷軋機”，通過反復閱讀，揣摩題意，整體理解，判斷應用題的數學模型類型，就可以進入建模關了.

數學模型的特點是符號化.符號語言的優越性在于表達概念嚴謹、簡潔，術語引入科學、自然，指意簡明，書寫方便，大大縮短了語言表達的“長度”，較容易揭示數學本質屬性.符號語言有助于運算，便于思考，式子將關系融于形式之中，教科書上各種數學公式的表述均采用符號語言.因此，通常在高考（代數方面）應用題解決過程中，要么自己引入字母符號，也就是“設……為x，設……為y，設……為z，……”，建立這些字母間的等量或不等量關系，確立它們的允許取值范圍；要么理解題目中所給每一個字母的含義，尋找它們的取值范圍，建立新的等量或不等量關系，

二、以例說法話闖關

接下來舉例說明——以兩道經典的高考應用題為例.

例1 某地為促進淡水魚養殖業的發展，將價格控制在適當范圍內，決定對淡水魚養殖提供政府補貼.設淡水魚的市場價格為z元/kg，政府補貼為t元/kg，根據市場調查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應量P kg與市場日需求量Q kg近似地滿足關系：

當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格.

（l）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數，并求出函數的定義域；

（2）為使市場平衡價格不高于10元/kg，政府補貼至少為每千克多少元？

閱讀 經濟常識（政治課上學過）告訴我們，當日供應量P>日需求量Q時，商品過剩，價格就會下降；反之，價格就會上升，政府通過價格補貼的方法間接控制日供應量P和市場價格.“當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格”，等式P=Q中只有兩個字母x和t，這樣我們就找到了x和t的關系，這個關系中的z不再是“市場價格”，而是“市場平衡價格”，按照（l）的要求，政府補貼t為自變量，市場平衡價格x是t的函數.

“為使市場平衡價格不高于10元/kg”，也就是說，不等式“x≤10”成立，求自變量t取值范圍，例2 圖1為一臺冷軋機的示意圖.冷軋機由若干對冷軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出.

（l）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度β，若每對軋輥的減薄率不超過r₀.問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600 cm.若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為L_k.為便于檢修，請計算L₁，L₂，L₃并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

閱讀 題目長，慢慢讀，一遍不行再來一遍，冷軋機沒見過，但原理還是通俗易懂的，正如菜場現場面條加工，每次面皮寬度不變，只是一次又一次地將面皮壓薄（一下子壓薄到位，面皮會斷，更何況帶鋼）.軋鋼廠為了全自動作業，一對軋輥軋（減薄）一次，n對軋輥連續工作，就完成了帶鋼由厚變薄的過程.

術語“減薄率”在題目中給出了解釋，其實跟“增長率”意義是一樣的，只不過是大小關系前后相反，一般來說，專業術語“按規定做”，即題目中怎么定義，我們就這么表達.原厚度為a，軋一次，由于每對軋輥的減薄率不超過r₀，即減掉的厚度不超過ar₀，剩余厚度不少于a-ar₀=a（1-r₀）ⁿ經過n對軋輥連續工作后的厚度應不少于a（1-r₀）ⁿ”.從而建立不等式，

第（2）問有點嚇人.某對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，經過這對軋輥的帶鋼上就留下一連串的點——相鄰兩點間的距離都是這對軋輥周長.帶鋼再經過下一對軋輥的擠壓，由于帶鋼相鄰兩點間的體積不變，且寬度不變，不計損耗，因而兩點間的距離就會變大.抓住體積不變性建立方程求解.我們回憶一下，物理實驗室用的打點計時器是否也是類似的原理呢？打點的時間間隔不變，我們根據紙帶上相鄰兩點間的距離變大或變小，判斷小車運動速度的快慢，這樣想一想，既增強了解決應用題的自信心，又類比出解決問題的原理——抓住不變性.

三、理解轉化是關鍵

上面兩例在高考應用題史上非常有名，尤其例2.之所以“有名”，主要是得分率太低，絕大部分同學被“軋鋼問題”“軋死”了，據統計平均得分才零點幾.除了消除對應用題冗長的敘述、不熟悉的情境、難于理解的術語等的恐懼外，考場上需要考生靜下心來，第一遍快速讀題，對整個問題了然于心；第二遍字斟句酌，理解每一個術語的含義，推敲它們之間的關系，弄清楚已知什么，求解什么；第三遍“問什么設什么”，引入字母，建立數學模型，實現實際問題（原型）向數學問題的轉化.