找準內在聯系，建立數學模型

王思儉

考試結束了，學生涌出考場，邊走邊議論，“今天的應用題，我沒有想到它是什么模型”“我又沒有理解題意，不知道如何建立數學模型”“題目中的參量較多，不知道選擇哪一個作為自變量”“應用題的數學模型究竟有哪些，我背了前幾年的數學模型，但一到考場里就全忘記了，不知道怎樣尋找幾個量之間的聯系”……我為此邀請幾位學生針對數學應用題的建模問題進行交流，旨在通過對幾道應用題的分析，引導學生尋找變量與變量、變量與參量的內在聯系，掌握建立數學模型的基本思路.

生甲：如圖1，某海島觀察哨A測得在海島北偏東60°的C處有一輪船，80 min后測得船在海島北偏西60°的B處，又過20 min輪船到達位于海島正西方且距離海島5 km的E港口.如果輪船始終做勻速直線運動，求輪船的速度.

我沒有讀懂題意，這題的數學模型是什么？我建立直角坐標系求解，運算量較大，過程太繁瑣，沒有成功！

師：首先要弄清楚本題有哪些條件，結論要求什么？條件有4個，結論是計算輪船的速度，我們只要計算BE或BC的長.你們知道線段BC與BE所用的時間之比是多少嗎？

眾生：4：1.

師：于是問題可以轉化為我們要求的線段長度之比是多少？

眾生：也是4：1.

師：你們再閱讀題目，找一找還有哪些已知條件？

師：這些邊與角的條件出現在3個三角形中，建立解三角形的數學模型就可以解決問題.

師：很好！本題是以解三角形為背景的應用題，數學模型就是路程與速度的模型.從解題過程來看，關鍵是要找出或設出角度，實質是解斜三角形，將問題涉及的有關量集中在某一個或者幾個三角形中，靈活地運用正弦定理、余弦定理來加以解決.

師：你們閱讀理解這句話：“若該參與者通過浮橋AB的過程中，從點0處發出的水波圈始終沒能到達此人跑動時的位置，則認定該參與者在這個游戲中過關；否則，認定在這個游戲中不過關，”領會它的含義是什么？能否提供建立數學模型的相關信息？

師：本題的第（2）小題數學模型是三次函數模型，通過點在直線上建立函數關系式，將解三角形、直線方程、兩點間距離公式、導數等相關知識整合在一起，然后再利用導數求解，最后再回到實際問題中來.

生甲：如圖3，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ =5.2 km.某旅游團游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q，已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，sinθ=-5/13，游船離開觀光島嶼3 min后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時趕到停車地點Q與旅游團會合，立即決定租用小船先到達湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點Q（設游客甲到達湖濱大道后能立即乘到出租車）.假設游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車的速度為66 km/h.

（l）設sin α=4/5，問小船的速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同時到達點Q；

（2）設小船速度為10 km/h，請你替該游客設計小船行駛的方位角α，當角α余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達Q.

第（l）小題的數學模型是方程類的問題，解直角三角形，建立方程；第（2）小題是三角函數模型.但由于我沒能正確理解方位角，導致建模錯誤，因此本題沒有得分.

師：解數學應用題首先是對相關概念、信息要理清楚，如方位角的概念，它是指從指北方向順時針轉到目標方向線的角；其次正確選擇數學模型，如本題是屬于追及類問題（方程、函數），要抓住同時到達；再次選擇合理的運算方法進行求解；最后回到實際問題中去.

師：正確！本題的數學模型并不是很復雜，但關鍵是挖掘題目中的隱含條件，收集題目中的相關數據并認真分析，當遇到困難時，再讀題，再思考還有哪個條件或數據沒有用上.

解應用題的關鍵就是提出問題，收集數據，整理分析數據，建立模型，分析求解，回歸檢驗，正弦定理、余弦定理在測量（角度、距離）、合理下料、設計規劃等方面有著廣泛應用，從以上3題的分析過程我們可以獲得求解應用題的基本策略：

（l）弄清題意是前提，通過閱讀，知道講的是什么，訓練自己獨立獲取知識的能力.

（2）建立模型是關鍵，需要把實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.在構建數學模型的過程中，要有對數學知識檢索的能力，認定或構建相應的數學模型，完成由實際問題向數學問題的轉化.

（3）正確解模是目標，建立了數學模型后，要正確解出數學問題的答案，并加以檢驗，需要扎實的基礎知識和較強的數理能力.

（4）提高能力是根本，正確快捷地求解應用題需要提高各種綜合能力，