基于MGF研究指數分布與其他分布之間的關系

朱 芳 汪 慧

（安徽新華學院通識教育部 安徽合肥 230088）

一、引言

指數分布是概率論與數理統計[2]中非常重要的一種分布類型，是分析和解決統計學問題中常用的工具之一,在概率論與數理統計研究中具有非常重要的實際應用價值。近些年來，很多學者基于MGF深入研究統計學、代數學以及其他學科，并取得了很多顯著的成果[3][4][5].本文主要基于MGF的定義及性質研究指數分布與其他幾種分布之間的內在聯系，旨在進一步介紹概率論中幾種特殊的分布，幫助學生在課堂之余豐富概率知識，并了解概率論的博大精深。首先給出MGF的定義及一些重要的性質。

其中Px（x）為離散型隨機變量X的概率函數；fx（x）為連續型隨機變量x的概率密度函數。

性質1.1 設隨機變量X,Y的動差生成函數存在,且Z=X+Y,則有：

性質1.2 設隨機變量Y=a+bX（a,b為任意的常數),則有：

由MGF定義和性質得出指數分布、泊松分布、Laplace正態分布和Gamma分布的MGF：

表1 指數分布、泊松分布、Laplace分布和Gamma分布的MGF

二、指數分布其他幾種分布之間的關系

（一）指數分布與泊松分布。設隨機變量X～E（λ），Y～Poisson（λt）,Y 表示某事件在時間段[0,T]內發生的總次數,令Y為該事件第一次發生的時間,則有：

等式兩邊同時求導得：

因此可以看出隨機變量為指數分布。

定理2.1 泊松分布在某種情況下可以近似為指數分布。

（二）指數分布與Laplace分布。設隨機變量X1～E（1），X2-E（1），且隨機變量 Z=X1-X2，X1，X2，Z,的 MGF 分別記為MX1（t）,MX2（t）,MXz（t）。

結合表格1知X～E（1）的指數分布的動差生成函數為：

結合MGF的性質得：

設 Z0～Laplace(0,1),則有：

定理 2.2 當 X1～E（1），X2～E（1）時,X1-X2.～Laplace(0,1)。

（三）指數分布與 Gamma分布。設隨機變量 X1～E（1）,記隨機變量，的MGF分別記為,且,

則由MGF的性質得：

假設 W～Gamma（n,λ），則可以計算出：

定理2.3 參數相同的多個指數分布的和即為Gamma分布。

三、結語

通過三個定理的簡單證明，可以看出指數分布與其他三種分布之間的內在聯系，說明在特定情況下分布之間是可以相互轉化的.本文主要基于MGF研究指數分布與泊松分布、Laplace正態分布及Gamma分布三者之間的關系，幫助學生在學習課堂知識之余更加深入的理解幾類重要分布，感受概率論的博大精深，為后期統計學的學習奠定基礎，實現多角度的輔助教學，這樣既可以滿足學生對知識探索的需求，也可以豐富教學內容.