古印度數學的珍寶

陳巍，理學博士，現為中國科學院自然科學史研究所副研究員。主要研究科技知識在古代世界的傳播并把世界連為一體的歷程。喜愛“上窮碧落下黃泉”，品鑒各個文明在應對相似問題時展現出的智慧。

7世紀是數學發展較為停滯的一個時代。地中海世界仍處于中世紀早期的騷動之中，無暇回顧古典時代的巨大遺產；前幾個世紀群星閃耀的中國數學則成為國家選拔考核人才的御用工具，逐漸喪失創造力；伊斯蘭數學則連它的文化背景“伊斯蘭”都還處于剛剛起步的階段。這個時候的數學天空，幾乎只有南亞被一顆巨星照亮著，它的光芒最終射入西亞，為伊斯蘭數學的飛躍添磚加瓦。這顆巨星就是婆羅摩笈多（Brahmagupta，圖1）。

婆羅流韻

從名字就可以看出，婆羅摩笈多出身于古印度的婆羅門種姓。在社會中擔任祭司角色的婆羅門掌管著解釋和預言天象的權力，這就需要他們掌握天文學知識，以及測量和計算天體運行的工具——數學。興盛于4 6世紀的笈多王朝更是與婆羅門緊密合作，促進了婆羅門教在經歷耆那教和佛教沖擊后的復興，同時也鑄就了印度文化史上的黃金時代。

據婆羅摩笈多自述，他是在塞迦歷550年（古印度實行的一種歷法，比公歷晚78年），當他30歲時完成了代表作《婆羅摩歷算書》。這樣就可以推算出他生于公元598年。《歷算書》的一名9世紀注釋者稱婆羅摩笈多為“來自毗羅摩羅的尊師”，因此大多數學者都認同婆羅摩笈多誕生于毗羅摩羅（現印度西北部拉賈斯坦邦賓馬爾）。唐朝高僧玄奘曾游歷過這里，記載此地是當時的“瞿折羅國”都城。

除了知道他曾研究印度教哲學外，我們對婆羅摩笈多的早年教育一無所知。不過根據《歷算書》，我們可以看出他對前輩和同時代學者，如阿耶波多（476-550）、伐羅訶密希羅（505587）和婆什迦羅一世（約600-680）等人的思想非常熟悉。

婆羅摩笈多成年后，來到印度中南部城市烏閣衍那（現印度中央邦烏賈因），主持那里的天文臺。烏閣衍那也曾被玄奘光臨過，當時那里是一個獨立的小國。玄奘記載那里的國王“婆羅門種，博覽邪書，不信正法”。我們不知道玄奘是否到訪過烏閣衍那的天文臺，更不知道中國和印度的這2位大師是否有過會面。不過，從6世紀起，烏閣衍那成為印度數學的研究中心之一，在婆羅摩笈多之前，伐羅訶密希羅在那里擔任領導，而在他之后，則有婆什迦羅二世（1114 1185）繼承衣缽，把印度數學推向頂峰。

根據婆羅摩笈多的另一部天文學著作《肯達克迪迦》（Khandakhadyaka，意為“嘗鼎一臠”）的題記，我們知道它成書于公元665年，他可能在之后幾年仍然活著，最后在烏閣衍那逝去。

學通天算

婆羅摩笈多的代表作《婆羅摩歷算書》包括24章，有1008段以閏底律（Arvameter）寫成的韻文。這種以詩載道的形式是當時印度數學著作的慣例。

《歷算書》大部分內容都與天文學有關，涉及各個天體在各個時刻的距離和位置關系、天體上升與下降的時間、合相與日月食的計算方法等。在《肯達克迪迦》里，他還討論了一些行星和月亮運行的問題。這些天文學知識對后世產生了一些影響，但婆羅摩笈多最重要的貢獻，還是在于為得出天文學成果而發展的數學理念和方法。

《歷算書》中有4章半內容討論純粹的數學問題，其中第12章被稱為“算術”（Ganita，當時算術也包括一些幾何問題），第18章處理的是代數（Kuttaka，意為“研磨”），在算術、幾何、代數和三角等領域，婆羅摩笈多都取得了令人矚目的成就。

在算術方面，婆羅摩笈多最著名的成就在于把0納入計算體系。他明確提出諸如這樣的法則：“正數與負數相加等于它們（絕對值）的差，如果它們（絕對值）相等，結果是0”；“0被正數或負數除，要么等于0，要么得到一個分子是0、分母是有限量的分數”；“正數或負數被0除，得到一個分母為0的分數”；“0被0除結果是0”。盡管最后2條與現在對0的認識并不一致，但這是歷史上最早嘗試把0作為分母的探索。

在代數學領域，婆羅摩笈多最重要的貢獻是對包含兩個未知量的二次不定方程的研究。他在計算方程Dx²+1=y²的整數解時，進一步涉及了解決更一般的Dx²+m=y²的方法。婆羅摩笈多提出，如果（x₁，y₁，m₁）和（x₂，y₂，m₂）是2組解的話，那么（x₁y₂±x₂y₁，Dx₁x₂±y₁y₂，m₁m₂）也是滿足方程的2個解。

比如，

要計算92x²+m=y²的整數解。首先，

當x=1時，92×1²+8=10²，即（1，10，8）是92x²+m=y²的一組解，把它與其自身合算，就得到另一組解（20，192，8²），也就是92×20²+8²=192²。把方程系數都除以8²，得到92x{5/2}²+1=24²，這樣我們得到最初要計算的不定方程的一組解{5/2，24，1}。但它還不是整數，這時，可以再通過“合算”，得出整數解（120，1151，1）。當然，我們還可以重復“合算”步驟，繼續得到無窮多個整數解。

數百年后，婆什迦羅二世給出更加完善的不定方程解法。在西歐，這個領域直到17世紀才由英國學者威廉·布隆克爾（1620-1684）進行探索——但這個成就被歐拉錯誤地安到另一位學者約翰·佩爾頭上，因此現代數學稱其為“佩爾方程”。

在幾何學領域，婆羅摩笈多發展了勾股定理，除根據指定邊長構造直角三角形、圓內接四邊形、等腰梯形等幾何圖形的面積外，還提出了計算三角形外接圓半徑、圓內接四邊形的面積及對角線長度等問題的公式。最后2個公式實際上是對托勒密定理（即對于圓內接凸四邊形，兩對對邊乘積之和，等于兩條對角線的乘積）的進一步應用。

最后，在三角學領域，當時人們能夠算出諸如15°、30°、45°等“特殊”角度的正弦值，但如何計算像57°這種“平常”角度對應的正弦值呢？婆羅摩笈多運用了二次內插法進行計算，這種方法與近代數學中的牛頓

斯特林公式的二階形式相同。像15°、30°、45°這樣的角度，彼此間隔相等，可以稱之為“等間距”，通過這些角度對應的正弦值之差，以及“正弦值之差的差”的變化趨勢，就可以模擬兩定值之間某個角度對應的正弦值。婆羅摩笈多通過二次內插公式，得出57°的正弦值為0.8384，比現代值0.8387只有萬分之三的誤差。

比婆羅摩笈多稍早一些，中國隋代數學家劉焯（544-608）也運用二次內插法計算天文數據。這種在相隔遙遠的文化中，科學成就幾乎同時產生的現象，在科學史上并不罕見。我們現在還無法得知，劉焯與婆羅摩笈多之間存在著什么樣的聯系，或者他們共享著什么樣的知識基礎。

深遠影響

與婆羅摩笈多訂正增補前人著述一樣，他本人的著作在隨后幾百年中也有許多注釋者。婆羅摩笈多在書中給出許多結論和定理，但通常缺乏推理過程。在他之后幾個世紀里的《歷算書》注釋者，給不少定理附上了許多例題。盡管無法確定這些例題究竟出自誰之手，考慮到古代印度數學知識的流傳情況，一些例題應當可以追溯到婆羅摩笈多時代。根據這些例題，數學史家可以推測出書中定理是如何推導出來的。

在印度，婆羅摩笈多最杰出的繼承人當屬婆什迦羅二世。后者不僅也擔任了烏閣衍那天文臺的學術領袖，而且與婆羅摩笈多展開了間隔500年的對話。婆什迦羅二世對許多問題的研究都繼續向前推進，并把它們收錄在代表作《莉拉沃蒂》中。

伊斯蘭文化興起之后，婆羅摩笈多的數學思想成為伊斯蘭學者學習借鑒的寶庫，其影響甚至早于后來大行其道的托勒密等古希臘學者。8世紀后期，一名數學家從烏閣衍那來到阿拉伯帝國首都巴格達，他所用的《歷算書》令伊斯蘭學者欽佩不已。不久《歷算書》和《肯達克迪迦》就被譯成阿拉伯語，這2本書中的天文學數據對9世紀初的大數學家花刺子米產生了重要影響。11世紀初的伊斯蘭大學者比魯尼曾客居印度，也是通過《歷算書》等著作吸收了古印度學問。

目前，中國學界對于古印度數學了解還不算多，但婆羅摩笈多的著作早在19世紀初就已經有了英譯本。婆羅摩笈多等古印度數學家的成就，以及他們對后世帶來的影響，獲得越來越深刻地認識。