靈活運用知識多種思路解題

數學題浩如煙海，我們不可能把所有題都做到，與其做很多題，不如把一道題做透，用多種不同的方法解決同一道題，對解題者的思維鍛煉效果極佳。下面針對一道不等式問題采用多種不同的方法加以證明，與大家共享。

題目：設a，b，c都是正數，求證： .

證法一：（比較法）

左邊 右邊= ]

所以原不等式成立.

評注：只需要證明左邊 右邊 .

證法二：（綜合法）

由基本不等式得： ） c，

） a， ） b

三式相加得： . 故原不等式成立.

評注：利用均值不等式 （a>0，b>0）證明.

證法三：（利用柯西不等式證明）

=

兩邊開方得： . 故原不等式成立.

評注：柯西不等式是經典不等式，其基本形式為：

本題中將待證的不等式左邊配方，使之成為柯西不等式的形式，再加以證明.

證法四：（利用排序不等式證明）

式中a，b，c輪換對稱，不妨設a ，則有

a ， ，由排序不等式得：

a （順序和） （亂序和）

化簡得： . 故原不等式成立.

評注：排序不等式也是經典不等式，它具有明確的大小順序（或者大小順序不明確但具有輪換對稱性），且字母個數相同的兩列數，在考慮它們對應項乘積之和的大小關系時經常使用，證本題的關鍵是：發現a，b，c具有輪換對稱性，并構造出兩列具有明確大小關系的式子，再依據“反序和 亂序和 ”證明.

作者簡介

李金蓮，女，生于1980年，于2004年畢業于西北師范大學數學系，2008年取得教育碩士學位，現在古浪一中擔任數學教學工作，中學一級教師。

（作者單位：甘肅省古浪縣第一中學）