“1”的代換在基本不等式中的拓展應用

程鵬

“整式和為定值求分式的最值”，或者“分式和為定值求整式的最值”這兩類問題我們一般考慮用“1”的代換，再利用基本不等式求最值.這種方法，同學們一般不容易想到，即使想到了，又不會變形，轉化為熟悉的問題來處理，問題的根源還是在于對“1”的代換這種方法理解不深刻，方法運用不熟練.追根溯源，下面從一道練習題說起，

點評 求分式的最值，如果整式可以用分母及常數來線性表示，且其和為定值的形式，即ax +by =c（a，b，c為常數，x，y可以是變量也可以是一個式子），那么就可以用“1”的代換結合基本不等式求最值，

分析 因2m+（1-2m） =l，即分母的線性和運算為定值，故可以考慮用“1”的代換.

分析 因a+（b+1）=3，即分母的線性和運算為定值，故可以考慮用“1”的代換.

分析 求整式的最值，如果整式可以用分母及常數來線性表示，且分式和為定值的形式，即a/x十b/y=c（a，b，c為常數，x，y可以是變量也可以是一個式子），那么就可以用“1”的代換結合基本不等式求最值.解題過程同例1（略）.

分析 如果xy能用分母及常數線性表示，那么該問題也可以用“1”的代換.

小結 一是無論求整式還是分式的最值，第一步都可以考慮將整式用分母和常數線性表示，通過換元法（換分母，換變量，換條件，換問題），最終將問題轉化為熟悉的兩類基本題型，再使用“1”的代換順利解決；二是在“三相等”這一步驗證等號是否成立時，選取的方程是基本不等式成立的條件對應的一個方程，另一個是整式方程，這個整式方程可能是條件直接給的如類似例1的題目，還有可能是式子取最值對應的方程如類似例2的題目.最終的目的就是讓方程組求解盡可能簡單.