集合探索性問題例析

趙春祥

探索性問題題意新穎，構思精巧，它要求同學們運用已學過的知識，通過觀察、歸納、探索和綜合等推理過程才能得出結論，集合探索性問題集中在兩大類，下面舉例說明.

一、信息遷移問題

信息遷移問題大多是通過定義一個概念，或規定一種運算，或給出一個規則，通過閱讀相關信息，捕捉解題靈感.這是一類條件不明確或結論不確定的集合問題，需要對題目中提供的各種信息進行觀察、概括、猜想，從中探索、尋覓問題所需要的條件或判定結論是否成立，必要時還需要給出嚴格的證明.

例1 定義集合A與B的運算：A⊙B={x|x∈A，或x∈B，且x？AnB），已知集合A={l，2，3，4}，B={3，4，5，6，7），則（A⊙B）⊙B為______.

解法一 利用Venn圖，知（A⊙B）⊙B為圖1中陰影所示部分，即為{1，2，3，4}.

解法二 直接由新運算分步計算，由新定義，得A⊙B ={l，2，5，6，7），

則（A⊙B）⊙B={l，2，5，6，7）⊙{3，4，5，6，7）={1，2，3，4）.

例2 設數集M={x| m≤x≤m+3/4），N={x|n-1/3≤x≤n），且M，N都是集合{x|0≤x≤1）的子集.若把b-a叫做集合{x|a≤x≤b）的“長度”，那么集合M∩N的長度的最小值是_______.

解 根據題目提供的定義：b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”，可知集合M的“長度”為定值3/4，集合N的“長度”為定值1/3，集合{x|O≤x≤1}的“長度”為定值1.求M∩N的長度的最小值，相當于兩線段公共部分最短時的長度值.

設AB是一長度為1的線段，以是長度為3/4的線段，b是長度為1/3的線段.a，b可在線段AB上自由滑動，a，b重疊部分的長度即為M∩N的長度（如圖2）.顯然當a，b各自靠近AB兩端時，重疊部分最短.其值為3/4+1/3-1=1/12.

二、結論不確定的探索型問題

對于結論不確定的探索型問題，一般是給出條件，沒有給出明確結論或結論不唯一的問題，要解題者探索出結論，必要時給出推理過程或者理論證明.

評析 對于結論不確定的探索性問題，一般有肯定型、否定型和討論型三種.即在數學命題中，常以適合某種性質的結論“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出現.“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質的對象，對于這類問題無論用什么方法只要找出一個，就說明存在，“不存在”就是無論用什么方法都找不出一個適合某種已知條件或性質的對象，這類問題一般需要推理論證.“是否存在”結論有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說明理由.