幾何概型中的轉(zhuǎn)化與化歸

孔德鵬

幾何概型較之古典概型要復(fù)雜，復(fù)雜之處在于基本事件的無窮多，也給滿足一定條件的基本事件的度量帶來難度，下面，筆者結(jié)合具體的實(shí)例談?wù)勅绾卫棉D(zhuǎn)化與化歸的思想解決較難的幾何概型問題.

例1 甲乙兩人約定好于明天7：00～8：00在新街口見面，先到的人等對(duì)方15 min，否則自行離開.請(qǐng)問他們二人見面的概率是多少？

解析 什么叫“約定好于明天7：00～8：00見面”？就是假設(shè)兩個(gè)人都能在7：00～8：00到達(dá)，那么如何用數(shù)學(xué)語言表述？這正是轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)——如何引入變量刻畫，

“先到的人等對(duì)方15 min”是什么意思？先到是在哪個(gè)時(shí)刻到呢？這樣想來，可以假設(shè)甲先到，在7：00開始x mln后到，如果兩人能見面，那么乙必須在甲等待的15 min內(nèi)出現(xiàn)，所以如果設(shè)乙是y min到，則有y

所以，我們用二元關(guān)系刻畫基本事件{（x，y）10≤x≤60，0≤y≤60），兩人見面這個(gè)事件的刻畫就是{（x，y）|x

如此，我們將問題轉(zhuǎn)化成了取點(diǎn)，這正是幾何概型——基本事件是在給定的平面幾何圖形內(nèi)取點(diǎn)，所以用面積計(jì)算概率就順理成章了.

設(shè)A為圖1中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是60的正方形及其內(nèi)部.

例2 甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率，

解析 這個(gè)題目和例1情形類似.設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0≤x≤24，0≤y≤24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx≥1或x-y≥2.故所求事件構(gòu)成集合A={（x，y）ly-x≥1或x-y≥2，x∈[0，24]，y∈[O，24]）.

A為圖2中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.

例3在長度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率，

解析 這個(gè)題目的難點(diǎn)還是在于轉(zhuǎn)化，如何用數(shù)學(xué)語言刻畫呢？刻畫線段的長度可以引入變量，那么引入幾個(gè)？兩個(gè)？還是三個(gè)？因?yàn)檫@些線段的和是1，所以引入兩個(gè)就夠了，設(shè)x，y表示三段長度中的任意兩個(gè)，因?yàn)槭情L度，所以應(yīng)有0

所以o1/2，故圖3中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件.因?yàn)殛幱安糠值娜切蔚拿娣e占大三角形面積的1/4，故這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為1/4.

轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)際上就是把一個(gè)陌生的或者復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的或者熟悉的問題，從而解決問題，本文三個(gè)典型例題是幾何概型中比較難的題目.也希望讀者朋友能夠通過這幾個(gè)例題深化對(duì)幾何概型的理解，提升數(shù)學(xué)分析和推理能力.下面留了2個(gè)練習(xí)，供讀者思考，

鞏固練習(xí)

1.在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1，為事件“x+y≥1/2”的概率，p2為事件“|x-y|≤1/2”的概率，p3為事件“xy≤1/2”的概率，則下列關(guān)系正確的是——.

①p1

③p3

2.某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5 min到校的概率為____.

參考答案

1.②.2.9/32.