基本不等式中的“桃園三結義”

蔣孝國

“桃園三結義”的故事大家耳熟能詳，劉備三兄弟息息相關，有苦同受，有難同當，在數學中也有不少這樣的“三兄弟”，如三角函數中的sinx.cos x.tanx；sinx+cosx，sinx-COSx.sinxcosx等，它們息息相關，你中有我，我中有你，知一求二，本文將講解基本不等式中的“三兄弟”——ab，a+b，a2 +b2，已知其中一個的值（或范圍）就可以求出其余兩個的范圍，平均不等式鏈√ab≤（a+b）/2≤√（a2+b2）/2三將它們緊密地聯系在一起，等號都是a =b時成立，

一、從“a+ b”到“ab”

二、從“ab”到“a+b”

三、從“ab”到“a2+ b2”

四、從“a2+ b2”到“a+b”

評注 該題采用的是先配方，再進行雙變量換元，再運用基本不等式的變形形式（a+b）2≤2（a2+b2），實現從“a2 +b2”到“a+b”，雙變量換元是解決基本不等式問題的重要策略.

運用基本不等式最重要的是根據已知條件把握不等式運用的方向，選擇運用基本不等式以及變形形式.如果能從這“三兄弟”出發，將為我們的解題提供一定的方向.