解決平面向量問題的兩大法寶

顧冬生

平面向量問題一般以基底法和坐標法為主，同學們靈活運用基底意識和坐標意識，針對不同的題型選擇適當的方法，問題就會迎刃而解，下面我們就以幾道考題為例，學習怎樣靈活運用這兩種方法，

例1 設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=1/2AB，BE=2/3BC，若DE=λ1AB +λ2 AC（λ1，2λ為實數），則λ1+λ2的值為____.

解析 由平面向量基本定理可知，平面內任意一個向量都可以用一組基底唯一表示，本題已經給出了兩個不共線的向量AB，AC，因此我們可以用它作為基底把其他的向量表示出來，

反思 選取適當的基底，用它表示所涉及的其他向量，問題就轉化為基底之間的一些表示和運算.

例2 如圖2，在矩形ABCD中，AB=√2，BC =2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB.AF=√2，則AE.BF的值是_________.

解析 本題給出的向量較多，給我們尋找適當的基底帶來了難度，經分析發現：AB，AD為正交基底，可以建立坐標系將向量用坐標表示進行計算，用坐標法解題，

以A為原點，AB為X軸，AD為y軸建立如圖3所示平面直角坐標系XAy，則A（0，0），B（√2，0），C（√2，2），D（0，2），E（√2，1），設F（x，2），得到AB=（√2，o），AF=（X，2），則AB.AF=√2X=√2，故X=1.AE=（√2，1），BF=（l-√2，2），則AE.BF=√2（1 -√2）+l×2=√2.