設(shè)點(diǎn)還是設(shè)斜率

徐萍

例 過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線z與直線y=x+2，直線y=-x+2分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程，

已知什么？點(diǎn)（2，1），點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，這是關(guān)鍵詞，

怎么運(yùn)用“P是AB的中點(diǎn)”？利用中點(diǎn)公式：（xA+XB）/2=XP

怎么求出A，B的坐標(biāo)呢？它們是直線與直線的交點(diǎn).可以聯(lián)立直線，構(gòu)建方程組，但是直線l的方程不知道，

已知一個(gè)點(diǎn)，選擇點(diǎn)斜式表示直線方程，就需要設(shè)直線l的斜率為k，當(dāng)然設(shè)斜率為k之前，必須先說(shuō)明斜率不存在時(shí)的情況，

斜率不存在時(shí)直線l為x=2，A（2，4），B（2，0），不滿(mǎn)足P為AB的中點(diǎn)，則設(shè)直線l的斜率為k，即y=k（x-2）+1，可聯(lián)立方程組求出XA=（2k+1）/（k-1），xB=（2k+1）/（k+1）.

因?yàn)镻（2，1）為AB中點(diǎn)，則（2k+1）/（k-1）+（2k+1）/（k+1）=2 x 2，從而可求出斜率k.

當(dāng)條件中已知一個(gè)點(diǎn)，大家選擇點(diǎn)斜式表示直線方程，那就要根據(jù)條件列出方程求斜率，

再思考下，還有其他做法嗎？確定直線，除了一個(gè)點(diǎn)加斜率，還可以找兩個(gè)點(diǎn).可以設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，列出兩個(gè)方程.設(shè)直線l與直線y=x+2的交點(diǎn)A為（x1x1+2），與直線y=-x+2的交點(diǎn)B為（x2，x2 -x2），則

（x1+x2）/2=2.

（x1+2）+（2-x2）/2=1.

當(dāng)然也可以只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，用A表示出B，再利用B在直線上，列出一個(gè)方程，設(shè)直線l與直線y=x+2的交點(diǎn)A為（x0，x0+2），則直線l與直線y=-x+2的交點(diǎn)B為（4-x0，-x0），又交點(diǎn)B在直線y=-x+2上，則-x0=-（4-x0）+2，得x0=1，點(diǎn)A坐標(biāo)知道了，直線方程就可迎刃而解，

對(duì)于例題，所求直線的幾何性質(zhì)對(duì)解題沒(méi)有明顯直觀的幫助作用，只能選擇代數(shù)辦法，而根據(jù)條件選擇直線方程形式的時(shí)候，顯然應(yīng)選擇點(diǎn)斜式，這種解法其實(shí)就是將題目中的條件按序翻譯成代數(shù)語(yǔ)言，直至問(wèn)題解決！

變式1

把條件中的“P是AB的中點(diǎn)”改為“AP =2 PB”，怎么求直線方程呢？

這時(shí)A，B，P三點(diǎn)坐標(biāo)間有什么關(guān)系呢？推導(dǎo)出3xP-xa-2xB =0，3yp-yA-2yB =0，由此求出A，B坐標(biāo)，解方程；或者設(shè)A坐標(biāo)，解出B的坐標(biāo)，代人，都可以！大家可以自己算出結(jié)果，

變式2 過(guò)點(diǎn)P（- 1，2）的直線l與z軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

這道變式題的關(guān)鍵是刻畫(huà)中點(diǎn).可以設(shè)截距（也就是設(shè)點(diǎn)），也可以設(shè)斜率確定方程求出截距，再列出方程！當(dāng)然還可以直接求出截距！這道題目選擇兩點(diǎn)式、截距式、斜截式、點(diǎn)斜式都成！

變式3 過(guò)點(diǎn)P（-4，0）的直線l與圓C：（x-1）2+y2=5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為

_______________.

這道題目已知直線上的一個(gè)點(diǎn)，要求的是直線方程，這時(shí)需要思考的是，是設(shè)斜率呢，還是設(shè)點(diǎn)？我們可以稍微權(quán)衡下，哪種做法比較簡(jiǎn)單，能迅速地解決問(wèn)題，

如果設(shè)斜率，那么先考慮直線斜率不存在時(shí)，看是否符合題意；再當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，直線方程為y=k（x+4）.

怎么刻畫(huà)點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)呢？利用中點(diǎn)公式可以得到點(diǎn)A，P，B三點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系，記作（*）式，

點(diǎn)A的坐標(biāo)怎么求？聯(lián)列直線和圓的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的根，代人（ *），構(gòu)建關(guān)于k的方程，

當(dāng)然了，選擇這樣的思路，還可以設(shè)A為（x1，y1），B為（x2，y2），借助于韋達(dá)定理與（*）式，去求出k的值，

不著急動(dòng)筆做，再想想其他思路，

如果設(shè)點(diǎn)，比如設(shè)A為（x1，y1），兩個(gè)未知量，需要兩個(gè)方程，一個(gè)方程是A滿(mǎn)足圓的方程；還有一個(gè)就是利用點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，用x1與Y1表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，代人圓的方程，構(gòu)建第二個(gè)方程，解方程組，求出A的坐標(biāo)，從而得到直線方程，

有了思路，問(wèn)問(wèn)自己，這兩種做法中，你會(huì)選擇哪一個(gè)呢？理由呢？當(dāng)然，這道題還可以借助圓的幾何特征來(lái)做，過(guò)圓心做直線的垂線，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，利用勾股定理，求出圓心到直線的距離，再由直線方程y-k（x+4），求出斜率k.說(shuō)到底，還是設(shè)斜率，只不過(guò)利用幾何特征得到關(guān)于k的方程！

直線中，當(dāng)只給定一個(gè)點(diǎn)時(shí)，要去求直線方程時(shí)，可以設(shè)直線的斜率，也可以設(shè)直線上的一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)條件，列出方程（組）.一般來(lái)說(shuō)，不管哪個(gè)思路都是可行的，大家需要做的，就是去選擇最適合的方法！