嘗試：數學發現的源泉

尤善培

“發現”，是一個美妙的詞.

發現引人注目.在長篇大論里忽然看到“發現”二字，讀者的眼睛頓時會為之一亮.電視劇的人物對話中飄過來“發現”二字，電視機前的觀眾立刻會安靜下來，電視機旁的過客會好奇地探過頭來，想探尋：發現了什么呢？

發現使人鼓舞.一宗迷案發現了偵破線索，辦案人員頃刻間忘記了疲勞，忘記了饑渴.一道數學題發現了解法，解題者馬上會變愁容為笑容，樂滋滋地說：眾里尋她千百度，“發現”原來在此處.

發現令人神往.法國著名數學家彭加勒有一天夜晚違反習慣，喝了黑咖啡，久久不能人眠，各種想法紛至沓來，結果第二天早晨發現了一類新的高等超越函數.

在各種各樣的發現里，最容易接近的是數學發現.因為數學就在我們的身旁，就在我們的生活里.那么怎樣走向數學發現呢？嘗試：是數學發現的源泉！

一、善于嘗試，發現解法

下面我們來欣賞一個探求數列通項的實例.

問題請按照規律填充適當的數.2，4，16，（ ）.

1.如果我是小學生

嘗試：2與4相差2，4與16相差12，因而猜測16與后面的一個數應該相差22，于是他認為答案應是38.

現在，我們“慢鏡頭”展示這位小學生嘗試的思維歷程.

盡管小學生習慣于最低層次的加減運算，卻揭示了一個二階等差數列的本質.進一步研究，我們會發現，此數列的一個通項公式是N=5N2-13n+10，當然小學生很難得到這樣的結果.

2.如果我是初中生

嘗試：由于22 =4，42=16，于是下面一個數應該是l62=256.

顯然，這位初中生嘗試的思維過程是這樣的：

第一個數是2，第二個數是第一個數的平方，第三個數是第二個數的平方，因而有理由推測，第四個數應該是第三個數的平方，

因為初中生熟悉的是平方運算，揭示的規律是后一個數是前一個數的平方.

進一步思考，這位初中生很可能發現此數列的一個通項公式是an=22n-1.

3.如果我是高中生

嘗試：原來的數是2，翻一番是4，然后從4到16是“翻二番”了，所以下一步是16“翻三番”了，即16-32—64—128.

顯然，這里高中生著眼于指數運算，發現的問題本質是每一個數都是形如2n的數，只要找到指數的變化規律，問題就解決了.其實，已知的幾個數為21，22，24，其指數分別為1，2，4；顯然，下一個指數應該是7（這已經是小學生都會的了）.于是，下一個數應該是2 7，即128.“翻番”的實質是指數函數.至此，這位高中生也能求出這個數列的一個通項公式是an=2

至此，筆者在這里分別扮演了小學生、初中生和高中生，從各自的知識基礎出發，借助各自的解題經驗，進行嘗試，較為輕松地發現了第四個數，實際上也就是發現了問題的規律，揭示了問題的本質.

這里的思維過程可以這樣來描述：從數學問題情境出發，進行嘗試活動，打開了發現的窗戶，踏上了發現的道路，從根本上來說，數學解題的歷程，就是數學發現的過程.

二、繼續嘗試，看透本質

現在，我們再來看一道曾是“開心辭典”節目中的“闖關題”：已知一列數的前五個數是O，4，18，48，100，求第六個數.

1.“闖關者”向“小學生”學習

用小學生的方法也能解這個問題.

2.“本科生”向“中學生”學習

進一步思考：本題的答案并不唯一.

有一位數學系的本科生，用高等數學的方法，人為地造出了一個統管前面五個數的“規律”.

an=n2（n-1）+（n-1）（n-2） （n-3）（n-4）（n-5）a.

顯然，它由二項構成.在n=l，2，3，4，5時，第二項的值統統都是O，只剩下第一項了.而它的值，在n=l，2，3，4，5時的值就分別得出 0，4，18，48，100.當n=6時，“規律”產生的數是180+120a，式子中出現了參數以，正是有了這個a，第六個數就“寬松”自由得很，你隨便說一個數，總是正確的答案，譬如，你說第六個數是o，只要讓a=-3/2即可，你若說第六個數是2 010，只要取a=15.25就行了.

3.“研究生”更會“研究”

說得更深刻一些，找規律的問題的實質等同于以下的問題：已知在等間距上各端點處的函數值，試確定這個函數.顯然本題有無數解，這就發現了本科生解決問題的本質.

4.“教授”更為“睿智”

陜西師范大學數科院羅增儒教授則發現了一個“以不變應萬變”的“妙解”.他把這個數列看成一個以5為周期的數列，且前五項分別為O，4，18，48，100.顯然，第六項應該是O，真是“棋高一著”，“妙不可言”.

因此，看透本質（由數列的有限項不能確定其他項），追求實質就是數學發現的重要路徑.

三、化簡嘗試，追求實質

面對紛繁的數學問題，只要我們化繁為簡，撩開迷人的面紗，看透本質，就能“水落石出”，發現解決問題的突破口，抓住本質，就會使問題迎刃而解.

問題 已知等差數列{an}的前n項的和為Sn.

（1）若a10 =100，a1oo一10，求a110.

（2）若S10=100，S100=10，求S110.

1.化簡，看透本質

先求解第（1）小題，

思考：要求a110，而已知a10=100，a100=10，根據等差數列的定義，只要知道公差d就可以了，這就是問題的本質，而公差d的實質就是等差數列所決定的直線的斜率，聯想到斜率公式，立得

現在來求解第（2）小題，

思考：要求S110，只要知道a1和d.怎樣求出a1和d，可以通過S10=100，S100=10，求出1和D，進而求出S110=-110.

2.聯想，追求實質

第（2）小題的結論：當S10=100，S100=10時，成立SlO+100=-（10 +100），似乎偶然，出于巧合，難道其中沒有必然性？細想想，總覺得意猶未盡！這是一個有益的念頭，再想想本題的必然本質到底是什么？

其實，對于等差數列{an}而言，an的通項公式是n的一次函數，它的前n項的和Sn是常數項為O的二次函數，這就給我們一個啟發， 是一次函數，因而bn= 是一個等差數列.至此，我們發現了一個極其漂亮的解法.

因而問題就化為在等差數列{bn}中，求b110，這正好就與第（1）小題類似，因而很快求出b110=-1，于是S110=-110.

3.抽象，優化素質

我們嘗試著將上面的問題一般化，擴大戰果.

已知等差數列{an}的前n項的和為Sn

（1）如果an=q，aq =p，求ap+q.

（2）如果Sp=q，Sq=p，求Sp+q.

先解第（1）小題：

由等差數列的性質可知，點M（p，q），N（q，p）在直線x+y= p+q上，所以當x=p+q時，ap+q=0.

再解第（2）小題.

這里問題（1）的輕松解決靠的是發現了問題中的數與形的關系，當然也可用前述斜率方法求解；問題（2）用的是整體代換的思想方法，當然也可仿前用Sn為等差數列快速求解，

數學學習的過程實際上是一個“嘗試、猜想、發現”的過程.在數學解題的過程中，我們要向發現要潛力，向發現要時間；我們要積極探索和嘗試，從而揭示本質，優化素質.