從一道函數零點例題談起

于海軍

同學們在課本上遇到過這樣一個問題：判斷函數fx）=x2-2x-1在區間（2，3）上是否存在零點.這是一道比較簡單的課本例題，書中提供了兩種解法：

解法一 將函數零點問題轉化為解方程問題，根據求根公式得方程x2-2x-1=0的兩個根分別為x1=1+√2，x2=1-√2.因為1<√2<2，所以2<1+√2<3.因此函數f （x）=x2-2x-1在區間（2，3）上存在零點，

解法二 從函數圖象出發，如圖1，f（2）=-1<0，f（3）=2>0，而二次函數f（x）=x2-2x-1在[2，3]上的圖象是不間斷的，這表明函數圖象在區間（2，3）上一定穿過x軸，即函數在區間（2，3）上存在零點.

我們對這個解法不妨做一些思考，讓這種解法能解決更一般的函數零點問題.

如果是一般的二次函數在給定區間（m，n）上有零點，能根據圖象得到判定方法嗎？

觀察二次函數圖象，我們發現如果函數圖象在（m，n）中穿過z軸一次，則函數y-f（x）在（m，n）中就唯一存在一個零點x0，怎么保證穿過一次呢？用f（m）f（n）<0保證就可以了，

思考一 如果二次函數y=f（x）對于實數m，n，m

例1 若關于z的方程3tx2+（37t）x+4 =0有兩個實根α，β，滿足O<α<1<β<2，求實數t的取值范圍，

解析 函數的零點就是函數圖象與x軸交點的橫坐標，是一個實數，即為方程f（x） =0的根，由題意設f（x）=3tx2+（37t）x+4，可得 f（0）（1）<0，f（1）（2）<0解得 3t +3-7t +4<0，（3t-7t+7）（12t+6-14t +4）<0， 即7/4

如果將函數改為單調函數，零點能用圖象判定嗎？答案是肯定的，

思考二 一般地，如果函數f （x）在區間[m，n]上的圖象是連續不斷的曲線，且函數y=f（x）是單調函數，當f（m）f（n）<0，那么有且僅有一個x0∈（m，n），使得f （x0）=0，即函數y=f（x）在（m，n）中存在唯一零點x0.

例2 若方程2x=kx +2（k<0）在（0，1）上有且僅有一個實數解，求實數k的范圍，

解析 由題意設f（x）=2x-kx-2（k<0），則函數y=f（x）在（0，1）上為單調增函數，它有且僅有一個根的條件是f（O）.f（1）<0，得解（20-0-2）（21-k2）<0 k<0.

如果不是單調函數呢？零點的情況又如何呢？觀察圖象得出函數與方程中一個重要結論：

（零點存在定理）一般地，若函數y=f（x）在區間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，且有f（m）f（n）<0，那么至少有一個x0∈（m，n），使得f（x0）=0，即y=f（x）在（m，n）中至少存在一個零點x0，

例3根據表格中的數據，可以判斷方程ex-x-2=0有一個根所在的區間為（）

A.（-1，0）

B.（0，1）

C.（1，2）

D.（2，3）

解析 由題意設f（x）=ex-x-2.函數為連續函數，則代人得f（2）f（1）<0，所以選C.

同學們，如果將零點存在定理條件從f（m）f（n）0，零點又會出現怎樣的變化情況？

思考三 一般地，若函數y=f（x）在區間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，且有f（m）f（n）>0，那么，函數f （x）在區間（m，n）內不一定沒有零點.

例4 若函數f（x）=3x2+ 2ax +1（a>0）在區間（- 1，1）內有兩個零點，則實數a的取值范圍是

解析 由題意知

△=（2a）2-4X3Xl>0，

-1<2a/6<1，

f（-1） =3-2a +1>0，

f（1） =3+2a +l>0，

又a>0，解得√3<以<2.

思考四 一般地，若函數y=f（x）在區間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，那么當函數f（x）在區間（m，n）內有零點時不一定有f（m）f（n）<0，也可以是f（m）f（n）>0.

例5 已知函數f（x） =2ax2 +2x-3.如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，則實數a的取值范圍是

解析 若a=O，則f（x）=2x-3.f（x）=0 x=3/2不∈[-1，1]，不合題意，故a≠0.

下面就a≠0分兩種情況討論：

（1）當f（-1）f（1）≤0時，f（x）在區間[-1，1]上至少有一個零點，即（2a5） （2a-1）≤o，解得1/2≤a≤5/2.當f（-1）f（1）>0時，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點的條件是f（-1/2a）f（1）≤o或f（-1/2a）f（-1）≤0，

-1<-1/2a<1，

f（-1）f（1）>0，

解得a>5/2.

綜上，實數以 的取值范圍為[1/2，+∞）.

從以上思考結論的演變過程可以看出，研究函數零點的每個結論都離不了函數圖象，這是函數中一種非常重要的思想，即數形結合思想，它比具體的數學知識具有更強大的抽象性與概括性，所以我們加強對數學思想方法的運用意識，有利于優化認知結構，活化知識，提高解決問題的能力.