一篇碩士論文指瑕

陳穎穎

華中師范大學碩士論文《數學開放題與學生創造性思維培養》（夏婧，2006）的第23頁有以下一段文字：

例6 五個自然數，它們的和等于它們的積，求此五數.

對于這樣的問題，如盲目猜想或者利用不定方程組來解就會多走彎路.但是通常按運算經驗，五個自然數的積一般總大于它們的和.要使兩者相等就必須縮小積的值，即多用幾個較小的數，如1，2，3等.這個想法就是一種最簡單的直覺，它來源于經驗，而在腦際迅速閃現并指示了解題的方向.

上題僅有兩解，而有些題目的解是多個，課上有時無法解決，這時可以讓學生課外思考，有時可獲得出乎意料的妙解.

這篇論文（以下簡稱“夏文”）中斷定“上題僅有兩解”，事實上，我們不難驗證以下4組數都是本題的解：（o，0，0，0，0）、（1，1，2，2，2）、（1，1，1，2，5）、（1，1，1，3，3）.

即使排除第一個全為0的這個平凡解，本題也有3組非零解.所以，夏文的這一論斷是錯誤的.下面我們用3種策略來證明本題只有這4個解.

命題1 和與積相等的五個自然數，若不全為0，則全不為0.

當其中有0時，所得積必為0，若此時不全為0，所得和大于o.和與積不可能相等.所以，若不全為0，則全不為0.

之后就可只討論本題的非零解，所以以下我們假設5個數均為正整數.

策略一：縮小范圍，暴力破解

我們首先想到的解題思路，就是利用編程一一枚舉檢驗，但這個簡單粗暴的方法也面臨一個問題：我們應該在怎樣的一個范圍內進行枚舉檢驗？這就需要首先知道五個數的取值范圍.為此，我們從尋找“五數應該具備哪些性質？”這個問題人手.

據以上5個命題，我們已經把五個數限制在一個較小的范圍內，可以在此范圍內進行一一驗證，至多進行4×3×4=48次試驗就可得出本題的所有解（排除交換重復的情況，實際試驗次數將更少）.

當然，我們也可利用框中的BASIC程序驗證知，本文開頭所列舉的是本題的所有解.

策略二：代數變形，分類討論

至此，我們基本解決了本文開頭提出的問題.但我還不太滿意（就像四色問題雖然已經借助計算機得以證明，數學家們仍在繼續努力尋找其他證法）：如果不借助編程，驗證的工作還是比較繁瑣的.有沒有更簡潔的方法呢？

策略三：順藤摸瓜，另辟蹊徑

以上，我們已經獲得了不借助編程的純人工解法，而反思命題2的證明，我們想到了“如果有3個數大于1會怎樣？”，對這個問題深入，我們義獲得了另一種更為簡單的證明方法.

體會

對這類開放題，我的第一想法就是用代數方程的方法，但后來發現比較繁瑣，于是就開始考慮用編程進行暴力破解.但是，編程暴力破解需要明確搜索的范圍.為此，我們一般先通過研究未知數所具備的性質來確定未知數的范圍，并且盡量縮小范圍.我發現，這種解題的思維過程，與我們解答高考模擬題不一樣，數學并不只是為了解高考題，數學還有更豐富的內涵，等待我們去掀開她神秘的面紗，感受她那獨特的魅力.

雖然暴力破解的方法看起來比較笨，但卻是找到策略二這種簡約思路的基礎.如果沒有暴力破解這種方法讓我看到希望，說不定我在找到策略二之前就已經放棄了.所以在這個過程中我深刻體會到，學數學不能排除看起來很笨的方法，有些“巧方法”就隱藏在“笨方法”之中；當然也不能滿足于“笨辦法”，否則就發現不到隱藏在里面的“巧方法”.“巧出于笨”這四個字或許是我最大的收獲.

夏文斷言本題“用不定方程組來解會多走彎路”，但我的體會是，彎路是走了一些，但不算“多走”，而且很多驚奇和快樂的體驗恰恰是因為走在這些彎路上！就像在旅游時，印象最深的不一定是看到了規劃好了的景點，反而是因為走錯路而發現的全新美景吧！

[指導老師點評]

（1）當我把這個問題在社團的QQ群里提出后，作者馬上把這個研究任務領了下來.一位高中生敢于向碩士論文叫板，這種不盲從權威的科學精神值得贊賞.原來她打算和另一位同學一起在暑假研究這個問題，由于這位同學外出很長一段時間，她就白己先開始研究了.等同學外出回來，她已經把問題研究得差不多了.

（2）這道題從問題結構上分析，條件與結論之間的關系是相當隱晦的.沒有現成的解題模式可以套用，對于從未經過中學奧數訓練的高一升高二學生來說，還是有一定難度的.

（3）在高一沒有系統學過反證法的情況下，能大量使用反證法證明這一系列命題，難能可貴.寫這篇論文的經歷實際上已經提前完成了反證法的最基本訓練.

（4）高一升高二的學生要寫出這樣的文章，其艱難程度是可想而知的.作者幾乎用了整個暑假來琢磨這篇文章，其間經常通過QQ主動向我請教，這種求學精神讓我非常感動.除了把問題本身研究清楚之外，還要學習論文的基本規范，一開始連文章的框架都比較亂.最后形成的這個論文框架，也是我們多次討論后逐步形成的.相信這一經歷能讓她更真切地理解數學論文寫作.

（5）本文原本還可以寫得更精練些，但我覺得現在這個寫法更能展現作者對這個問題的整個探索過程，作為學生論文這種寫法更有意義.