電離層延遲及其特性的公式推導(dǎo)

周曉慧,黃勁松,徐曉華,郭斐

(武漢大學(xué) 測繪學(xué)院,湖北 武漢 430079)

0 引 言

電離層延遲是影響GNSS導(dǎo)航定位精度的重要因素,尤其是對于理解“到底是測距碼測短了,還是載波測長了?”這樣的問題,在本科教學(xué)過程中,教師較易出現(xiàn)難以解釋清楚,學(xué)生容易出現(xiàn)無法接受既成事實的現(xiàn)象.本文從載波、測距碼信號的本質(zhì)出發(fā),通過較為嚴(yán)密的公式推導(dǎo),回答上述問題,并且為本科教學(xué)電離層延遲及其特點提供一種講解思路,供同行參考.

1 基本概念

1.1 相位的概念

GNSS的信號是由測距碼和導(dǎo)航電文調(diào)制后依附在正弦波形式的載波上從衛(wèi)星端播發(fā)的.單一的信號在播發(fā)的過程中,通常用正弦波/余弦波，如圖1所示，在時間域內(nèi)進(jìn)行描述,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y=Acos(ωt+φ).

(1)

式中:A為振幅;ω=2πf是角頻率;φ為初相;t為某一時刻. 而相位的定義是某一時刻波上點的位置,對應(yīng)的圖1中黑點的位置.

1.2 相速度及其計算

相速度,是指相位在空間中傳播的速度.因此,需要在空間域內(nèi)描述信號,可采用波動方程表示為

ξ=Acos(ωt-kx).

(2)

式中:ω含義同式(1);k=2π/λ,稱為波數(shù);(ωt-kx)為相位. 對應(yīng)于圖2中的實心原點與空心圓點兩點,分別對應(yīng)的是不同時刻的相位.

根據(jù)相速度的定義,選擇波動方程中的任意相位(ωt-kx)=c,如圖2中菱形點所示,可以得到其從t1到t2時刻的傳播距離為dx,相應(yīng)地,相速度可以表示為

(3)

而(ωt-kx)=c,對時間求導(dǎo):

(4)

整理可得,

(5)

結(jié)合相速度及角頻率定義,可得相速度的表達(dá)式為

(6)

可見,單一的電磁波在媒介中傳播是波長和頻率的函數(shù).

1.3 合成波及包絡(luò)的概念

GNSS信號由測距碼、導(dǎo)航電文和載波組合而成,如圖3所示，可以看作是一種組合波.采用最簡單的兩個余弦波合成為例,來講解合成波及包絡(luò)的概念.

假設(shè)分別有2個單一的正弦/余弦波,其波動方程可以分別寫作

ξ1=Acos(ω1t-k1x)，

ξ2=Acos(ω2t-k2x)，

(7)

式中，ω1、ω2、k1、k2含義同式(3). 利用三角公式的和差化積,可得到合成波的表達(dá)式:

ξcom=ξ1+ξ2

(8)

實曲線中相鄰波峰波谷的虛線即為包含著高頻信號的低頻曲線,也是常說的包絡(luò)線,它是能量傳播的基本單元，如圖4所示.

1.4 群速度及其計算

GNSS載波信號是以合成波的形式傳播的,因此,通過包絡(luò)在空間傳播的速度來進(jìn)行描述,即群速度是包絡(luò)的相速度.根據(jù)1.3節(jié)內(nèi)容,包絡(luò)方程為

(9)

與相速度推導(dǎo)過程相似,群速度可寫作

(10)

2 電離層傳播距離計算

2.1 相、群速度之間的關(guān)系

結(jié)合式(7)、(10)及波數(shù)的定義,可得相、群速度之間的關(guān)系為

(11)

2.2 相、群折射率之間的關(guān)系

(12)

結(jié)合式(12)和式(13)可得,

(13)

又因ε為小數(shù)時,(1+ε)-1=1-ε,顧及λ=c/f,可得相、群折射系數(shù)之間的關(guān)系:

(14)

對于GNSS信號而言,截斷的電離層折射系數(shù)是頻率f的函數(shù):

(15)

式中:Ne為電子密度;qe和me分別為電子電荷和質(zhì)量,將其代入式(14)和式(15),分別可得

(16)

2.3 電離層中信號傳播距離

信號在電離層中的傳播時間為

(17)

信號在電離層中傳播的距離為

(18)

此式即著名的依據(jù)Fernet’s定理.

3 電離層延遲計算及其特性

3.1 GNSS測距基本思想

GNSS通過距離交會實現(xiàn)定位、導(dǎo)航和授時的主要功能.距離交會可通過測距碼或載波進(jìn)行距離測量實現(xiàn),其基本思想是獲得信號傳播時間,乘以速度.而在接收機(jī)內(nèi)部,通常采用光速作為信號的傳播速度,即

S0=c×t.

(19)

式中:S0為理論計算的信號傳播距離；c為光速；t為信號的傳播時間.

3.2 電離層延遲的計算及特性

(20)

對測距碼和載波而言,結(jié)合式(16)、(18)和式(20),它們對應(yīng)的電離層延遲分別為

(21)

即,

(22)

因此公式(22)可寫作:

(23)

從式(23)不難看出,電離層具有以下特性:1)電離層延遲大小與總電子含量成正比;2)電離層延遲大小與頻率的平方成反比;3)碼偽距和載波相位受到的電離層延遲大小相等,符號相反.

4 結(jié)束語

GNSS原理相關(guān)課程已成為眾多開展大地測量、工程測量等方向的核心課程,作為影響定位效果的誤差源-電離層,它對測距碼和載波信號造成的測距誤差出現(xiàn)大小相等、方向相反的結(jié)論一直未能較好地給予形象解釋.本文試圖從GNSS信號的本質(zhì)出發(fā),通過較為嚴(yán)密的公式推導(dǎo),證明了相應(yīng)的結(jié)論.