讓兒童與等號(hào)深度“遇見”

摘 要：“=”是小學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的符號(hào)之一，等號(hào)意義包括運(yùn)算意義和代數(shù)意義，對(duì)等號(hào)代數(shù)意義的理解是今后代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。低年級(jí)是等號(hào)概念理解的重要時(shí)期，在低年級(jí)有意識(shí)地滲透等號(hào)蘊(yùn)含的對(duì)稱性思想，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，也有利于發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思想。為防止學(xué)生對(duì)等號(hào)意義產(chǎn)生片面理解，教師需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)生或適當(dāng)改編一些教學(xué)素材，精心設(shè)計(jì)有針對(duì)性的練習(xí)等來幫助兒童突破從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的障礙。

關(guān)鍵詞：等號(hào)；兒童；代數(shù)思維；等價(jià)關(guān)系；平衡關(guān)系

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-06-28

作者簡介：張紅英（1970—），女，中小學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、引言

小學(xué)一年級(jí)是兒童早期代數(shù)思維的啟蒙階段，代數(shù)思維是兒童數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展的一個(gè)重要表征。特別是在新改版的北師大版數(shù)學(xué)一年級(jí)的教材中就已經(jīng)有了不少的代數(shù)知識(shí)的逐步滲透，一些算術(shù)的內(nèi)容也關(guān)聯(lián)著代數(shù)思維的基本思想?？ㄅ硖氐热苏J(rèn)為：“由算術(shù)思維轉(zhuǎn)換到代數(shù)思維的標(biāo)志之一是從等號(hào)的程序觀念到等號(hào)的關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變?！笨梢姟?”在代數(shù)思維具有重要地位。然而很多教師并未認(rèn)識(shí)到“=”的代數(shù)價(jià)值和內(nèi)涵，缺少有機(jī)滲透和有效訓(xùn)練，如此不利于發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維能力。

北師大版一年級(jí)上冊(cè)的一次測驗(yàn)中有一題：8+5=（）-2，有幾個(gè)學(xué)生都填寫了“13”這個(gè)錯(cuò)誤的答案，同年級(jí)10個(gè)班級(jí)的錯(cuò)題率中，也是這道題的錯(cuò)誤率最高，由此引發(fā)了我的思考。

二、錯(cuò)因分析

1.學(xué)生方面的因素

學(xué)生初次接觸等號(hào)是在與大于號(hào)、小于號(hào)同時(shí)學(xué)習(xí)的情況下，用作比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，是作為一種關(guān)系引入的，最初是認(rèn)識(shí)等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)。在后續(xù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生接觸到的大多數(shù)都是具體運(yùn)算，需要求出結(jié)果，運(yùn)用等號(hào)來連接算式和得數(shù)，因此，學(xué)生把“=”簡單地看作運(yùn)算結(jié)果的輸出符號(hào)，也就是因定式思維而習(xí)慣性地看到等號(hào)就以為是要計(jì)算出“8+5”的結(jié)果，而忽視了等號(hào)的代數(shù)意義（或者根本就沒感受到等號(hào)的代數(shù)意義），從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

2.教師方面的因素

因受長期的“算術(shù)”與“代數(shù)”人為割裂的影響，很多教師特別是長期執(zhí)教第一學(xué)段的教師對(duì)兒童早期代數(shù)思想的滲透還比較陌生，也可能是對(duì)教材缺乏深入研讀，也可能是教師自身素養(yǎng)的缺失，在一年級(jí)滲透兒童早期代數(shù)思維顯然還不是深入師心的教學(xué)理念。雖然教材中“=”最初是作為關(guān)系引入的，但沒有深度挖掘“=”背后隱藏的重要代數(shù)思想，缺乏相應(yīng)的深度體驗(yàn)的練習(xí)，在后續(xù)的運(yùn)算等教學(xué)中，對(duì)等號(hào)的代數(shù)含義也缺少滲透和訓(xùn)練，所以造成學(xué)生對(duì)“=”所表達(dá)的數(shù)量之間等價(jià)關(guān)系的重要價(jià)值難以理解，思維方式也會(huì)逐漸固化，機(jī)械地認(rèn)為“=”是用來表示算式的結(jié)果。

三、改進(jìn)措施

雖然學(xué)生早就知道等號(hào)，但他們對(duì)等號(hào)的理解往往是狹隘的，大部分學(xué)生認(rèn)為“=”是用來表示算式的結(jié)果。

1.比較兩數(shù)關(guān)系中，凸顯等號(hào)的等價(jià)關(guān)系

學(xué)生初次接觸等號(hào)是在一年級(jí)上冊(cè)比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系中，教材以實(shí)物比較來同時(shí)學(xué)習(xí)大于號(hào)、小于號(hào)，但教材中對(duì)等號(hào)的練習(xí)較少而關(guān)注大于、小于的練習(xí)較多，不利于學(xué)生對(duì)等號(hào)意義的理解。我們可以補(bǔ)充如下練習(xí)。教師出示三幅實(shí)物圖先問：“哪副圖表示的兩個(gè)數(shù)可以用等號(hào)表示？哪副圖中的兩個(gè)數(shù)不可以用‘=表示？為什么？怎樣就可以用等號(hào)表示了？”也可以在比多比少的練習(xí)題完成后追問：“怎樣變化就可以用等號(hào)連接了？”

學(xué)生通過“一一對(duì)應(yīng)”可以抽象出誰和誰一樣多，學(xué)生在直觀的感知中可以明確地感受到：左邊的數(shù)量和右邊的數(shù)量一樣時(shí)才可以用等號(hào)連接，等號(hào)是表示兩邊的數(shù)同樣多。初步感受“=”的等價(jià)關(guān)系。

2.加減法的初步認(rèn)識(shí)中，凸顯等號(hào)的本質(zhì)含義

在一年級(jí)上冊(cè)的教材中，繼比較兩數(shù)關(guān)系之后是加減法的認(rèn)識(shí)，教師在教學(xué)時(shí)可以通過改編或豐富情境圖來滲透等號(hào)的本質(zhì)含義。如在“加法的認(rèn)識(shí)”中，教材例題：笑笑一只手拿3支鉛筆，另一只手拿2支鉛筆，問一共有幾支鉛筆？這個(gè)例子可以很好地體現(xiàn)加法的意義——合并，但從等號(hào)意義教學(xué)的角度來說，這個(gè)例題不利于學(xué)生對(duì)“=”的本質(zhì)含義的理解。我們可以對(duì)例題作如下改編：“笑笑一只手中的3支鉛筆，老師手里拿5支鉛筆，誰的鉛筆多？”再出示笑笑另一只手又拿來2支鉛筆，引導(dǎo)學(xué)生觀察情境圖后問：“現(xiàn)在呢？”

學(xué)生通過已有知識(shí)可以抽象出誰比誰多，學(xué)生在直觀的感知中可以明確地感受到：笑笑兩只手中的鉛筆合并在一起就是5支，跟老師手中的5支鉛筆同樣多。這樣可以很好地向?qū)W生解釋“3+2=5”，從而抽象出“+”和“=”的意義，加號(hào)表示兩個(gè)數(shù)合并起來，等號(hào)表示兩邊的數(shù)量相等。

3.構(gòu)建不同等式，凸顯等號(hào)的對(duì)稱性

由于學(xué)生接觸到的大多數(shù)是數(shù)的具體運(yùn)算，需要求出結(jié)果，因而對(duì)“=”承擔(dān)的等價(jià)關(guān)系的重要價(jià)值難以理解。所以，學(xué)生對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候要尋求突破，積極主動(dòng)地構(gòu)建多樣化、不同結(jié)構(gòu)的等式，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解等號(hào)的內(nèi)涵與意義。例如，除了學(xué)生填寫常見算式6+7=□，還要精心設(shè)計(jì)一些練習(xí)。

（1）已知計(jì)算結(jié)果的等式。形如5+□=12、□+7=11、13-□=8等，打破總是用左邊兩個(gè)數(shù)計(jì)算出右邊得數(shù)的思維定式。

（2）結(jié)果在左的等式。形如10= □+□、15=□+□+□、7=□-□等?？梢詭椭鷮W(xué)生打破算式總在左邊，結(jié)果一定在右邊的觀念。從算術(shù)的角度可理解為數(shù)的分解，從代數(shù)的角度可理解為數(shù)與式等值，這有助于學(xué)生對(duì)等號(hào)含義的進(jìn)一步理解，是學(xué)生代數(shù)思維的最初啟蒙。

（3）式與式的等式。一個(gè)算式與另一個(gè)算式的結(jié)果等值，這就組成了式與式的等式結(jié)構(gòu)，形如4+□=5+ □、9-□=8-□、6+9=□+□等，讓學(xué)生感受到等號(hào)兩邊的式之間的平等和對(duì)稱關(guān)系。

4.從變化入手分析，凸顯等號(hào)的平衡性

教師在練習(xí)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生思考等號(hào)兩邊式子的相等特征，從而感受一種類似于天平的平衡關(guān)系。如6+9=□+□這個(gè)等式中，從一個(gè)加數(shù)6中減去1，則另一個(gè)加數(shù)9就得加上1，才能維持等式兩邊平衡，即6+9=5+10。又如，不計(jì)算讓學(xué)生比大小，8+13○13+8、16-7○15-6等。隨著學(xué)習(xí)的深入，可以進(jìn)一步拓展，比如□-15=□-14、14-6-2=14-□、□+□=□+□等。隨著知識(shí)面的不斷拓寬，該類題拓展的空間也是越來越多。當(dāng)然，這種感受對(duì)學(xué)生來說，并不需要十分深刻，但經(jīng)過教師不斷點(diǎn)撥引導(dǎo)，可以促使學(xué)生對(duì)此不斷積累體悟，如此不斷循環(huán)，思維層層內(nèi)化，在數(shù)的運(yùn)算中盡早接觸平衡與相等關(guān)系的代數(shù)核心思想，學(xué)生對(duì)等號(hào)意義的理解就更加全面、深入，使算術(shù)走向代數(shù)的過渡更為自然和順暢。

四、結(jié)語

在直觀思維方式的低年級(jí)兒童中滲透代數(shù)思維，是對(duì)所有教師的挑戰(zhàn)，需要教師深入思考教材背后隱藏的代數(shù)思想，善于去探索和把握時(shí)機(jī)。豐富低段學(xué)生等號(hào)代數(shù)意義，從而促進(jìn)低段學(xué)生代數(shù)思維的萌發(fā)。讓“數(shù)與代數(shù)”真正一路攜手同行，為以后轉(zhuǎn)換到代數(shù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

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