理論的“眼睛”

蘭傳奇

費希特說：“所有的理論法則都依賴于實踐法則.”康德也說過：“凡是在理論上正確的，在實踐上也必定有效.”今天，我想就基礎的立體幾何的解題方法，來和大家分享我所理解的理論和實踐的關系問題.

一個物體，離不開點、線、面，點構成線，線構成面，在線組成的不同形狀中，線內即是空間.初步學習立體幾何的時候，一些同學會遇到空間想象力不足等問題，而俗話說：“車到山前必有路.”因此，我們不必因為這些心急如焚，也許通過實踐，我們會有意想不到的收獲，

一、紙上得來終覺淺

前段時間在做作業時遇到一道題，大概是因為功夫還不到家吧，所以當時想了很久，但解出這道題后，再遇到這種類型的題目就游刃有余了.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C= 90°，D，E分別為AC，AB的中點，F為線段CD上一點.將△ADE沿DE折疊到△Ai DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.求證：A1F⊥BE.

關于這道題，相信很多人在研究之后就可以有解題思路：由∠C= 90°得出 AC⊥BC，再加上DE∥BC這一條件，我們就可以推出AC⊥DE，即A1D⊥DE.而仔細觀察圖1，我們會發現CD⊥ DE，由面面垂直的判定定理可得DE⊥畫A1DC.因為A1F（ 面A1DC，我們可以發現A1F⊥DE.在題目中我們還可以得知A1F⊥CD，通過線面垂直的判定定理可以推出A1F⊥面BCDE.由于BE（ 面BCDE，我們最終可以推得A1F⊥BE.

這個問題乍一看似乎很復雜，但當我們想通后，會發現其實很簡單.這道題其實是把一個平面圖形通過折疊變成立體圖形，如果我們把折疊后的點與點之間組成的線連結，用透視圖的形式展現出來，我們就會發現折疊后的解題其實是圍繞一個四棱錐展開的.而這個四棱錐也有些特殊，由于A和Ai是同一個點，DE∥BC，就可以知道∠ADE=∠CDE，從而會得到A1D⊥DE和CD ⊥DE.很多只看圖2沒有辦法發現的細節，通過圖1都可以找到.

這就是理論上的立體幾何.它所依賴的，是我們對公理、定理的熟悉程度和熟練運用的能力，通過既成的理論在書面上通過透視圖解決幾何問題.

二、絕知此事要躬行

所謂實踐，就是要我們去實行，也就是親白動手，從實際出發.

還是以剛才的那道題目為例，就以我自己來說，初做這道題時，我總是會忽略圖1，導致自己忽略題目中給我們的一些信息.而即使看了圖1，也沒有很快發現折疊后角與角之間的關系，在這上面浪費了很多的時間.但如果自己剪一個直角三角形并按題目要求折疊，也許就可以更直觀地看出角與角、線與線之間的關系.

在我們平時做題的時候，我們總會遇到以棱柱、棱錐、長方體等簡單幾何體為背景的幾何題，有的時候我們可能會因為一些原因無法通過書上的透視圖想象出題目所需要的幾何體，這個時候，我們就可以通過實踐來解決問題.

如果是折疊、剪裁類的題目，我們可以用身邊的紙制作出一個小模型，直觀地感受、分析題目，更快得出結論.

比如，當我們想知道在一個三棱柱中切去一個小三棱柱后會得到什么幾何體時，我們可以通過動手操作的方式來直接體會.通過圖3（a）和圖3（b），我們至少可以發現兩種答案，一種是得到一個四棱柱，一種是得到一個三棱柱，但如果從其他的角度進行剪裁，我們還可以得到更多不同的幾何體.

事實上，很多時候單用紙來制作簡單的模型是完全不夠的，當我們遇到包含“分別在上底面與下底面兩點之間有一條線段”這類條件的幾何題時，簡單的模型并不能幫助我們。但正所謂“功夫不負有心人”，這個時候，我們可以換一種方式建立模型.比如用火柴、棉簽等小棒搭建出最基本的幾何體，這樣我們就可以直觀地看到透視的幾何體，解題時思維就不會局限于書上的圖.其實也有數學建立模型專用的教具，有興趣的同學也可以買一些回來，在閑暇之余動手做一做，做好之后從不同的角度觀察并動手畫自己所建立的模型的透視圖，這樣可以幫助我們在腦海中形成一個可以轉動的幾何體.時間久了，也許一些簡單的剪裁類的題目我們通過畫圖就可以很快解答出來.

明代詩人林鴻說：“一語不能踐，萬卷徒空虛.”當我們熟讀熟背那些公理、定理后，要做的是學會如何運用它們.當我們通過做一些題目來加強自己對所學知識的運用時，我們其實已經在實踐了.而在解題過程中，有時我們也會需要實踐.就如達·芬奇所說：“理論脫離實踐是最大的不幸.”通過學習立體幾何，通過比較理論和實踐上解決立體幾何問題的方式，我們知道，當理論上有困難的時候，我們可以求助于實踐，而當我們需要學習、鞏固某一理論時，我們更需要實踐.

請記住這樣一句話：“要想獲得一種見解，首先就需要勞動，自己的勞動，自己的首創精神，自己的實踐.”實踐，是理論的“眼睛”.