研究式子的常用工具

劉麗云

式子是數學題的靈魂，其種類也很多，如函數關系式、方程式、不等式等等.我們拿到一個題目有時會束手無策，最主要的原因是對題目中的式子不會處理.用什么工具、手段來處理這些式子，挖掘出這些式子的表象和潛在的特點以及已知與未知的聯系，是我們審題的重點，也是解決這道題的關鍵.

研究一個式子，尤其是陌生的、復雜的式子，我們通常的思維方式是從特殊到一般.可先取一些特殊值、特殊情況、特殊例子進行研究，再推廣到一般.

一、特值工具，化一般為特殊

例1 若函數f（x）=k-2'/1+k2'是定義域上的奇函數，則k的取值范圍為

分析 本題中，f（x）是奇函數，即f（-x）=-f（x）對定義域內每一個x都成立，而f（-x）=-f（x）恒成立用一般式較復雜，并且本題是個填空題，求一個未知數k僅需一個方程，故可以取特殊值.而取的特殊值必須保證在定義域內，我們可觀察到f（x）的定義域可能是R或者{x|x∈R且x≠0}，因此我們不能取特殊值f（0）=0，因為x=O不一定在定義域內.可選其他特殊值，如取x=l得f（-1）=-f（l），得k=±1后再檢驗.

有些式子可直接用“特殊值法”這個工具來處理，有些雖然不能直接使用特殊值法，但也可先取一些特殊值認識式子的實質和內在關系，并可通過特值再類比到一般.

例2

若f（x）滿足f（x）+2f（-x）=3x，則f（x）=___.

分析 此題不能通過特殊值來直接求出f（x），但我們可以先思考如何求f（2）.令x=2可得f（2）+2f（-2） =6，這個式子中f（2）與f（- 2）均是未知的，即可看成兩個未知數，僅這一個方程無法解兩個未知數，必須再找一個關于f（2）與f（-2）的方程，故再令x=-2可得f（-2）+2f（2）=-6，就可求出f（2）.通過用特殊值法求、f（2）的過程可類比求f（x）.f（x）+2f（-x）=3x中有兩個未知數，用-x代式子中的x，可得f（-x）+ 2f（x）=-3x，解方程組即得f（x）.

二、圖形工具，化抽象為具體

對于一些式子我們無從下手，多數原因是式子對我們來說是陌生和抽象的.我們思維往往是直觀易理解而抽象難接受，因此處理一個抽象的式子時的第一反應是將其直觀化，而直觀化最常用的T具是圖形.

先看個例子：

例3 已知方程√4x-x2-3=kx有實數根，求實數k的取值范圍，

分析 仔細觀察方程，左邊是個無理式，右邊是最高為一次的式子，這兩個式子構成的方程是無理方程，較為復雜.而復雜的原因是無理式和一次式混合在一起，因此要想解題簡單，必須將無理式和一次式分開，于是我們可以考慮將方程有解等價轉化

方程的解轉化為函數圖象的交點問題是我們處理方程解的問題的常用手法，即用圖形這個工具來研究方程、不等式問題，而方程轉化成什么樣的函數，也是解決這類問題成敗和簡單與否的關鍵.說明圖形工具是處理式子時化抽象為直觀的常用方法，而具體轉化成什么函數則需要我們不斷地摸索和積累經驗.

三、導數工具，化復雜為簡單

高中的數學學習是抽象思維的學習，我們不可能將所有式子全部用特值工具和圖形工具來處理，也需要考慮抽象工具.而研究式子抽象的工具很多，如作差、作商、平方、取對數、換元等等，導數是其中最常用也是最有力的工具.函數的導數可研究函數的單調性、極值點、圖象、切線等問題，因此導數是研究函數的一個非常重要的工具.如：解不等式sin x> x.此題若用上面的特值和圖象這兩工具都較難說明，但我們可以將其變形成x- sinx<0，再利用函數f（x）=xsinx，的導數f'（x）=1-cosx≥0，判斷出f（x）是R上的增函數，結合、f（O） =O，得出x<0，非常簡單自然，利用導數工具可以非常高效地來研究函數式，代數式、不等式、方程式都可轉化為函數式，選擇什么樣的函數式也至關重要.

我們研究式子的工具有很多，以上三種是最常用的工具，特值工具、圖形工具是將抽象式子特殊化和直觀化的工具，導數工具是處理較復雜式子的有力武器.選擇何種恰當的工具，這需要我們對式子多分析思考、多總結歸納，并對這些研究式子的常用工具了如指掌，才能做到對解題游刃有余.