基于奇異譜分析的滑坡變形預測

王 鳴，許勝才，易 武

(1.賀州學院建筑工程學院，廣西賀州542800；2.三峽大學土木與建筑學院，湖北宜昌443002；3.三峽地區地質災害與生態環境湖北省協同創新中心，湖北宜昌443002)

0 引 言

滑坡對資源環境極具破壞性，而且威脅人類生命財產安全，因此開展滑坡災害的預測預報研究已成為當下的熱點和難點問題，具有重要的理論和實際意義。當然，滑坡預測預報的最理想的目標是災害的臨滑時間預報，但臨滑時間預報一般以滑坡的動態實時監測信息為基礎，如反映滑體自身運動狀況的位移變化信息，就當前監測手段和國內外研究特點來看，主要以滑坡位移變化信息作為臨滑狀態信息預測的切入點[1-3]。GPS監測是當前滑坡位移變化監測的主流手段，但由于各種各樣的誤差及傳播系統的缺陷，或多或少都會對監測的精度產生影響，進而影響滑坡變形的預測預報效果。因此，有效進行監測數據的前期處理，減少誤差影響，直接關系到變形預測值的準確性。

奇異譜分析(SSA)是在Karhumen-Loeve分解理論的基礎上發展起來的，是一種廣義功率譜分析方法，采用時域性的頻域特征分析方式對信號進行描述和識別，能夠穩定強化和識別周期信號。因此，奇異譜分析(SSA)能夠從包含噪聲的數據中提取可靠信息，并把主要的趨勢和周期分量聚集到若干個時間序列中，然后選擇趨勢分量進行序列重構，以降低噪聲[4-5]。本文擬采用奇異譜對原始序列進行預處理，提取可靠成分，建立二階差分-指數平滑模型對滑坡位移進行預測，并從誤差平方和(SSE)、平均絕對誤差(MAE)、均方誤差(MSE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)、均方百分比誤差(MSPE)等5個方面進行全方位綜合衡量。

1 預測模型原理

1.1 奇異譜分析(SSA)原理

假定一維時間序列X=(x1,x2,…,xN)，SSA過程主要分為以下幾個步驟：

(1)

式中,Xi=(xi,xi+1,…,xk+L-1),軌跡矩陣X的(i,j)處的元素xij=xi+j-1，其中,i=1,2，…,L,j=1,2，…,K，即所有反對角線上的元素相等。

X=X1+X2+…+Xd

(2)

(3)分組。初等矩陣可以按照下標{1,2,…,d}分成p個不相交的子集I1,I2,…,Ip，計算每個合成矩陣，則式(2)的分解式為

X=XI1+XI2+…+XIp

(3)

(4)對角平均。將通過式(3)分組分解得到的每個矩陣轉換為N的新序列。設Y是1個L×K的矩陣，其元素為yij，令L*=min{L,K},K*=max{L,K},且N=L+K-1，采用對角平均公式將矩陣Y轉換為y1,y2,…,yN的時間序列，即重構時間序列，對角平均公式如下

(4)

1.2 二階差分-指數平滑模型

給定觀測時間序列yt，t=1,2,…,n為觀測期數。一般當時間序列數據呈現曲線增長時，可以用二階差分-指數平滑模型來預測[6-10]，計算公式如下

yt=yt-yt-1

(5)

2yt=yt-yt-1

(6)

(7)

2 實例計算

2.1 奇異譜分析(SSA)

選取三峽庫區某滑坡2007年1月～2014年9月期間，XS112號GPS監測點采集到的每期點位水平投影相對于首期點位水平投影的變化值(每采集1次數據為1期，作為計算起點的1期數據為首期)，該滑坡監測網點布置見圖1。其中，2個GPS監測基點分別位于滑坡體外兩側。2007年1月～2014年9月期間采集到的XS112號GPS監測點共計95期位移數據見圖2。

圖1 某滑坡監測網點布置

圖2 XS112號GPS監測點95期位移

實際上，GPS監測數據采集存在各種各樣的誤差，這一點可以從圖2中體現出來。為構建更加合理的變形預測模型，采用SSA法，從包含噪聲的數據序列中盡可能多地提取可靠信息，把最可預測的分量聚集到若干個時間序列中，以此選擇若干有意義的分量進行序列重建，降低噪聲。為驗證預測效果，選取前90期數據作為樣本集，后5期數據作為預測集。

首先，嵌入維度的選取非常重要，若嵌入維數L太大，會導致奇異值分解得到的不同的部分產生混疊，信號分離效果較差且太小，無法使信號從弱到強漸進區分，導致部分信號無法獲取。但SSA的嵌入維數L一般是主觀選擇的，并沒有統一的標準。本文選取嵌入維度L=30，編程計算得到降序排列的30個代表時間序列變化趨勢的特征值。而重構階次p表示這前p個分量是信號，若p太小，則表示后面部分信號被當作噪聲剔除掉；p太大，則會使得部分噪聲被當作信號而提取出來[5]。

本文從這30個特征值的累積貢獻率(見圖3)來分析。由圖3可知，前7個特征值的累積貢獻率達到99.8%，故可取前7個特征值所對應的特征向量進行重構。重構后的數據見圖4。從圖4可知，重構后的數據基本符合原始數據的變化趨勢，且明顯比原始數據更加平滑。本文采用判定系數R2進行檢驗，一方面，判定系數可從數據變異的角度指出可解釋的變異占總變異的百分比，從而說明預測的優良程度；另一方面，還可從相關性的角度，說明變量之間相關程度。經編程求解，得到重構后數據與原始數據的判定系數為0.99，說明奇異譜分析所得到的重構序列精度極高。

2.2 預測

為了得到后5期變形數據，采用二階差分-指數平滑模型進行預測。根據預測原理，編程計算得到預測結果(見圖5)，預測期數為91～95期的累積位移數據。從圖5可知，后5期的預測變形數據基本符合數據整體變化趨勢，但仍需要定量的評價其預測效果。為證明采用SSA處理后的時間序列能夠得到更好的預測精度，體現SSA在變形數據預測上的作用，首先分別對未進行預處理的原始序列和進行SSA處理后的時間序列，均采用二階差分-指數平滑模型進行預測，對預測得到的結果均按預測效果評價原則和慣例，采用均方誤差(MSE)、誤差平方和(SSE)、均方百分比誤差(MSPE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)等5項預測誤差指標作為評判準則進行評判，預測結果的評判指標對比詳見表1。

圖3 不同特征值的累積貢獻率

圖4 重構數據與原始數據對比

圖5 二階差分-指數平滑模型預測結果

預測方法SSEMAEMSEMAPE/%MSPE/%SSA處理385.237.503.933.441.79未處理4297.4026.1613.1112.05.9

從表1可知，采用SSA重構的數據進行預測可以得到較好的精度，均方百分比誤差MSPE僅為1.79%。從全部5項指標來看，采用SSA重構進行預測比未采用的數據預測在精度上全面占優。通過2種模型的預測精度對比可知， SSA在時間序列預測上有明顯的優化效果。

3 結 語

本文采用奇異譜分析(SSA)對滑坡變形時間序列進行趨勢項分離，并重構有效時間序列，建立二階差分-指數平滑預測模型對其進行滑坡后期變形數據的預測。從預測結果看，奇異譜分析(SSA)的前期趨勢分量提取，對時間序列預測有明顯效果。但針對SSA的嵌入維度未能全面考慮，以及與不同預測方法的組合是否亦能體現SSA的優勢還要做進一步的分析。