Gronwall不等式的教學探討

章毛峰??

摘 要：Gronwall不等式是數學中的重要不等式之一，它在數學、控制理論等領域有很多應用。為了幫助學生理解并應用此不等式，本文給出三種條件變形的此不等式的簡潔證明，并給出了應用例子。

關鍵詞：Gronwall不等式；Lipschitz條件；BellmanGronwall不等式

一、 背景介紹

Gronwall不等式是英國數學家Gronwall于1919年提出的，Bellman進行了推廣，之后很多學者對此不等式進行研究。其各種形式的推廣，豐富了不等式內容。Gronwall不等式在控制理論、常微分方程和積分方程性質等領域有很多應用。此不等式的證明極少見諸教材，而有些雖有證明，卻相當粗糙、不嚴密。為了幫助學生理解Gronwall不等式，提高教學效果，本文將給出理論證明及應用例子。

二、 定理1（Gronwall不等式）

設a是非負常數，u（·）和v（·）都是區間[t0，T]上的連續且非負函數，若有以下不等式成立u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，t∈[t0，T]，

則u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。 （1）

證明：先令a>0，w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

則w（t）>0，w（t）≥u（t），w′（t）=v（t）u（t）≤w（t）v（t），

w′（t）w（t）≤v（t）， （2）

不等式兩邊積分得，則w（t）≤aexp∫tt0v（s）dsu（t）≤w（t）≤aexp∫tt0v（s）ds。

若a=0，可用ε>0代替a，則有不等式u（t）≤εexp∫tt0v（s）ds成立，于是我們可得u（t）≤0，（1）亦成立。證畢。

若定理1中的條件范圍擴大，a為常數，u（·）和v（·）的取值區間改為[t0，+∞），u（·）非負這個條件也去掉，上述定理1是否仍成立？我們有以下定理2。由于條件的改變，定理1中證明過程中的（2）式不成立，上述證明方法不再適用，下面給出另一種證法。

三、 定理2（Gronwall不等式）

設a是常數，u（·）和v（·）都是區間[t0，+∞）上的實函數，v（t）≥0，且滿足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，則以下不等式成立u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。

證明：令w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

上式兩邊對t求導得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，

則d[e-∫tt0v（s）dsw（t）]dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。

兩邊從t0到t積分，并利用分部積分公式可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，

所以我們有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。證畢。

若定理1中的條件改變，常數a變為函數，v（·）變為非負常數，結論是否仍成立？由于條件的改變，定理1的證明方法亦不再適用，下面給出另一種證法。

四、 定理3（BellmanGronwall不等式）

設f（·）是區間[a，b]上的非負可積函數，β為非負常數，且滿足不等式f（t）≤g（t）+β∫taf（s）ds，t∈[a，b]，則以下不等式成立f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。

特別地，當g（t）=C（C為常數），則f（t）≤Ceβ（t-a）。

證明：令z（t）=β∫taf（s）ds，則有z′（t）=βf（t）≤βg（t）+βz（t），整理得z′（t）-βz（t）≤βg（t），

則ddt[e-βtz（t）]=e-βt（z′（t）-βz（t））≤βg（t）e-βt，

不等式兩邊在區間[a，t]積分得e-βtz（t）≤β∫tag（s）e-βsds，

所以z（t）≤β∫tag（s）eβ（t-s）ds，

故f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。證畢。

五、 Gronwall不等式的應用

例（方程解的唯一性） 設α（t），ψ（t）是積分方程y=y0+∫xx0f（x，y）dx，x0≤x≤x0+h上的連續解，其中 f（x，y）滿足Lipschitz條件，L>0是Lipschitz常數，則α（t）=ψ（t）。

證明：由題意設α（t），ψ（t）是方程的連續解，

∴ψ（t）-α（t）=∫tt0f（ξ，ψ（ξ））dξ-∫tt0f（ξ，α（ξ））dξ，

則|ψ（t）-α（t）|≤∫tt0|f（ξ，ψ（ξ））-f（ξ，α（ξ））|dξ≤L∫tt0ψ（t）-α（t），

由Gronwall不等式，∴|ψ（ξ）-α（ζ）|≤0exp∫tt0Ldζ=0，

∴α（t）=ψ（t），命題得證。

六、 結束語

Gronwall不等式在控制論及方程理論中應用很多，特別是能夠簡化方程解的唯一性證明。利用該定理證明各類方程解的唯一性，思路清晰，學生易于理解，過程也比較簡單。

參考文獻：

[1]Gronwall T H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solution sofa system of differential equations[J]. Ann Math，1919（20）：292-296.

[2]Bellman R. The stability of solution of linear differential equations[J]. Duke Math J，1943（10）：643-647.

[3]Xuerong Mao. Stochastic Differential Equations and Applications（Second Edition）[M]. Horwood Publishing Limited，2007.

[4]孫莉.關于Gronwall不等式證明的注記[J].高等數學研究，2007，10（1）：69-71.

[5]李杰民.關于隨機Gronwall不等式的一點注記[N].湛江師范學院學報，2013，34（6）：19-21.

[6]許佳，鐘守銘.Gronwall不等式的推廣及其在分數階微分方程中的應用[N].西華大學學報（自然科學版），2012，31（5）：62-64.

作者簡介：

章毛峰，中教一級，安徽省六安市，安徽省六安市金安區興隆路清水河學校。