概率論與數理統計課程的學習方法研究

宮雷

摘要：本文根據教學經驗，結合概率論與數理統計課程的特點，提出學好“概率論與數理統計”的方法。

關鍵詞：概率論與數理統計 課程特點 學習方法

“概率論與數理統計”是理工科大學生的一門必修課程，由于該學科與生活實踐和科學試驗有著緊密的聯系，是許多新發展的前沿學科（如控制論、信息論、可靠性理論、人工智能等）的基礎，因此學好這一學科是十分重要的。

經分析發現雖然高等數學與概率統計同屬數學學科，但各有自己的特點.高等數學主要是通過學習極限、導數和積分等知識解決有關（一維或多維）函數的有關性質和圖象的問題，它與中學的數學有著密切聯系而且有著相同的思想方法和解題思路.因而在概念上理解比較容易接受（當然也有比較抽象的內容如中值定理等）.另一方面由于涉及許多具體初等函數，在求導數和積分時有許多計算上的技巧，需要大量練習以熟練掌握這些技巧，因而部分學生即使概念不十分清楚，但仍能正確解答相當多的試題，在考研中得到一定的成績。

而在“概率論與數理統計”的學習中更注重的是概念的理解，而這正是廣大學生所疏忽的，在考研復習時幾乎有近一半以上學生對“什么是隨機變量”、“為什么要引進隨機變量”仍說不清楚。對于涉及隨機變量的獨立，不相關等概念更是無從著手，這一方面是因為高等數學處理的是“確定”的事件。

根據上面分析，啟示我們不能把高等數學的學習方法照搬到“概率統計”的學習上來，而應按照概率統計自身的特點提出學習方法，才能取得“事半功倍”的效果.下面我們分別對“概率論”和“數理統計”的學習方法提出一些建議。

一、

學習“概率論”要注意以下幾個要點

1.在學習“概率論”的過程中要抓住對概念的引入和背景的理解，例如為什么要引進“隨機變量”這一概念。這實際上是一個抽象過程。正如小學生最初學數學時總是一個蘋果加2個蘋果等于3個蘋果，然后抽象為1+2=3.對于具體的隨機試驗中的具體隨機事件，可以計算其概率，但這畢竟是局部的，孤立的，能否將不同隨機試驗的不同樣本空間予以統一，并對整個隨機試驗進行刻畫。隨機變量X（即從樣本空間到實軸的單值實函數）的引進使原先不同隨機試驗的隨機事件的概率都可轉化為隨機變量落在某一實數集合B的概率，不同的隨機試驗可由不同的隨機變量來刻畫.此外若對一切實數集合B，知道P（X∈B）.那么隨機試驗的任一隨機事件的概率也就完全確定了.所以我們只須求出隨機變量X的分布P（X∈B）.就對隨機試驗進行了全面的刻畫.它的研究成了概率論的研究中心課題.故而隨機變量的引入是概率論發展歷史中的一個重要里程碑。類似地，概率公理化定義的引進，分布函數、離散型和連續型隨機變量的分類，隨機變量的數學特征等概念的引進都有明確的背景，在學習中要深入理解體會。

2.在學習“概率論”過程中對于引入概念的內涵和相互間的聯系和差異要仔細推敲，例如隨機變量概念的內涵有哪些意義：它是一個從樣本空間到實軸的單值實函數X（w），但它不同于一般的函數，首先它的定義域是樣本空間，不同隨機試驗有不同的樣本空間.而它的取值是不確定的，

隨著試驗結果的不同可取不同值，但是它取某一區間的概率又能根據隨機試驗予以確定的，而我們關心的通常只是它的取值范圍，即對于實軸上任—B，計算概率P（X∈B），即隨機變量X的分布。只有理解了隨機變量的內涵，下面的概念如分布函數等等才能真正理解.又如隨機事件的互不相容和相互獨立兩個概念通常會混淆，前者是事件的運算性質，后者是事件的概率性質，但它們又有一定聯系，如果P（A）-P（B）>0，則A，B獨立則一定相容。類似地，如隨機變量的獨立和不相關等概念的聯系與差異一定要真正搞懂。

3.搞懂了概率論中的各個概念，一般具體的計算都是不難的，如F（x）=P（X≤x），EX，DX等按定義都易求得。計算中的難點有古典概型和幾何概型的概率計算，二維隨機變量的邊緣分布fx（x）=∫-∞∞ f（x，y）d y，事件B的概率P（（X，Y）∈B）=∫∫Bf（x，y）dxdy，卷積公式等的計算，它們形式上很簡單，但是由于f（x，y）通常是分段函數，真正的積分限并不再是（-∞，∞）或B，這時如何正確確定事實上的積分限就成了正確解題的關鍵，要切實掌握。

4.概率論中也有許多習題，在解題過程中不要為解題而解題，而應理解題目所涉及的概念及解題的目的，至于具體計算中的某些技巧基本上在高等數學中都已學過.因此概率論學習的關鍵不在于做許多習題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去，這樣往往能“事半功倍”。

二、

學習“數理統計”要注意以下幾個要點

1.由于數理統計是一門實用性極強的學科，在學習中要緊扣它的實際背景，理解統計方法的直觀含義.了解數理統計能解決那些實際問題.對如何處理抽樣數據，并根據處理的結果作出合理的統計推斷，該結論的可靠性有多少要有一個總體的思維框架，這樣，學起來就不會枯燥而且容易記憶.例如估計未知分布的數學期望，就要考慮到①如何尋求合適的估計量的途徑，②如何比較多個估計量的優劣？這樣，針對①按不同的統計思想可推出矩估計和極大似然估計，而針對②又可分為無偏估計、有效估計、相合估計，因為不同的估計名稱有著不同的含義，一個具體估計量可以滿足上面的每一個，也可能不滿足.掌握了尋求估計的統計思想，具體尋求估計的步驟往往是“套路子”的，并不困難，然而如果沒有從根本上理解，僅死背套路子往往會出現各種錯誤。

2.許多同學在學習數理統計過程中往往抱怨公式太多，置信區間，假設檢驗表格多而且記不住.事實上概括起來只有八個公式需要記憶，而且它們之間有著緊密聯系，并不難記，而區間估計和假設檢驗中只是這八個公式的不同運用而已，關鍵在于理解區間估計和假設檢驗的統計意義，在理解基礎上靈活運用這八個公式，完全沒有必要死記硬背。