風(fēng)洞天平動(dòng)態(tài)特性多階慣性補(bǔ)償技術(shù)研究

艾 迪, 許曉斌, 王 雄

(1. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心, 四川 綿陽(yáng) 621000; 2. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 綿陽(yáng) 621000)

0 引 言

隨著高超聲速技術(shù)的發(fā)展，高超聲速風(fēng)洞中測(cè)量動(dòng)態(tài)過(guò)程氣動(dòng)力的需求不斷增多，對(duì)應(yīng)變天平動(dòng)態(tài)特性的要求也隨之提升。如果測(cè)力系統(tǒng)振動(dòng)頻率落入氣動(dòng)力頻域或附近，就會(huì)引起測(cè)力系統(tǒng)振動(dòng)，導(dǎo)致天平信號(hào)中包含高頻噪聲和振動(dòng)引起的慣性干擾量，影響應(yīng)變天平動(dòng)態(tài)測(cè)量精度。高頻噪聲可通過(guò)低通濾波器去除，因此，提高應(yīng)變天平動(dòng)態(tài)測(cè)量精度的關(guān)鍵是減少慣性力對(duì)天平測(cè)量結(jié)果的干擾。

目前，解決這一問(wèn)題的方法主要是天平信號(hào)補(bǔ)償，即將天平信號(hào)中的慣性力分量補(bǔ)償?shù)簟?guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛采用慣性補(bǔ)償測(cè)力技術(shù)[1-5]，也有研究人員提出了數(shù)字補(bǔ)償測(cè)力技術(shù)[6-8]，但尚未應(yīng)用于風(fēng)洞試驗(yàn)。慣性補(bǔ)償就是在測(cè)力系統(tǒng)上安裝加速度計(jì)，利用加速度信號(hào)解算出天平信號(hào)中的慣性力分量，然后從天平信號(hào)中扣除以得到真實(shí)氣動(dòng)力。目前較為普遍的補(bǔ)償算法是將加速度信號(hào)乘以補(bǔ)償矩陣得到慣性力分量，但由于測(cè)力系統(tǒng)的振動(dòng)往往是多個(gè)不同頻率振型的疊加，這種方法只能補(bǔ)償信號(hào)中的主頻分量，對(duì)非主頻分量幾乎無(wú)影響，限制了補(bǔ)償精度進(jìn)一步提高。

本文在傳統(tǒng)的慣性補(bǔ)償算法基礎(chǔ)上，提出一種新的補(bǔ)償策略：由于測(cè)力系統(tǒng)振動(dòng)是由各階主振動(dòng)疊加而成，可將加速度計(jì)信號(hào)分解為各階主振動(dòng)信號(hào)(即模態(tài)分解)，然后分別對(duì)各階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的天平信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，最后將各階補(bǔ)償結(jié)果疊加得到最終的補(bǔ)償結(jié)果，該補(bǔ)償方法可稱為“多階慣性補(bǔ)償方法”。

小波分析具有多尺度分辨率的特點(diǎn)[9]，常常用來(lái)對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和提取[10-12]。本文根據(jù)測(cè)力系統(tǒng)固有頻率分布情況，采用離散小波變換和重構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的模態(tài)分解。

為了理論研究的簡(jiǎn)便和直觀，文獻(xiàn)[13]將激波風(fēng)洞的測(cè)力系統(tǒng)簡(jiǎn)化為固支的等截面懸臂梁模型。然而，對(duì)于常規(guī)高超聲速風(fēng)洞測(cè)力系統(tǒng)，模型的質(zhì)量特性往往無(wú)法忽略，因此本文將尾支撐和天平簡(jiǎn)化為等截面懸臂梁，模型簡(jiǎn)化為懸臂梁自由端附加的集中質(zhì)量。由于振動(dòng)引起的慣性干擾量在實(shí)際結(jié)構(gòu)中的分布與簡(jiǎn)化模型類似，可以通過(guò)簡(jiǎn)化模型定性地研究振動(dòng)對(duì)氣動(dòng)力測(cè)量的干擾規(guī)律以及加速度慣性補(bǔ)償技術(shù)。

本文首先采用理論方法闡述自由振動(dòng)下各階振型對(duì)氣動(dòng)力的干擾及分布規(guī)律，基于懸臂梁自由振型對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力和加速度分布規(guī)律提出多階慣性補(bǔ)償方法，給出相應(yīng)的“多階慣性補(bǔ)償公式”；進(jìn)而通過(guò)數(shù)值軟件仿真懸臂梁模型自由振動(dòng)過(guò)程，采用離散小波變換得到各階加速度分量，將其和理論補(bǔ)償系數(shù)代入多階慣性補(bǔ)償公式，得到補(bǔ)償結(jié)果，以檢驗(yàn)多階慣性補(bǔ)償方法的可行性。

1 測(cè)力系統(tǒng)建模

高超聲速風(fēng)洞測(cè)力系統(tǒng)由模型機(jī)構(gòu)、支桿、應(yīng)變天平和飛行器模型組成，如圖1所示。由于模型機(jī)構(gòu)的剛度和質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他部分，因此可以將模型機(jī)構(gòu)與支桿連接視為固支，將支桿、應(yīng)變天平和模型簡(jiǎn)化為帶集中質(zhì)量的等截面懸臂梁，如圖2所示。天平可看作懸臂梁某截面，為了表述方便，懸臂梁截面的彎矩和剪力等效為天平信號(hào)中的俯仰力矩和法向力，并稱為“氣動(dòng)力”。由于振動(dòng)對(duì)法向力/側(cè)向力和俯仰力矩/偏航力矩測(cè)量干擾更為突出，本文主要對(duì)懸臂梁的橫向振動(dòng)進(jìn)行討論。

圖1 風(fēng)洞測(cè)力系統(tǒng)示意圖

根據(jù)實(shí)際情況，本文對(duì)簡(jiǎn)化模型作如下合理假設(shè)：(1) 測(cè)力系統(tǒng)受力以及振動(dòng)產(chǎn)生的變形均在線彈性范圍內(nèi)；(2) 由于有效試驗(yàn)時(shí)間較短，可忽略阻尼引起的振動(dòng)衰減；(3) 測(cè)力系統(tǒng)振動(dòng)幅值為小量，不影響實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥藨B(tài)，并忽略流動(dòng)和結(jié)構(gòu)變形的耦合作用；(4) 支桿-天平結(jié)構(gòu)實(shí)際長(zhǎng)細(xì)比大于10，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，懸臂梁為歐拉-伯努利梁。

圖2中規(guī)定懸臂梁固支點(diǎn)為原點(diǎn)o，軸向?yàn)閤方向，長(zhǎng)度為l，撓度為y(x,t)，彈性模量為E，截面中心矩為I，線密度為ρ，集中質(zhì)量為m。

圖2 帶端部質(zhì)量的懸臂梁模型

懸臂梁的自由振動(dòng)方程為：

(1)

根據(jù)分離變量法，其通解[14]為：

y(x,t)=Y(x)r(t)

(2)

式中：

其中，Y(x)為主振型函數(shù)，r(t)為主坐標(biāo)函數(shù)。

對(duì)于本文的懸臂梁模型，根據(jù)其邊界條件得：

(3)

式中η=m/ρl，稱為質(zhì)量比系數(shù)。求解式(3)中的超越方程，可求得λi(i=1,2,3…)的值，則：

(4)

根據(jù)振型疊加法，懸臂梁系統(tǒng)的自由振動(dòng)解可寫為級(jí)數(shù)形式：

(5)

由式(5)可得，懸臂梁各地的俯仰力矩M、法向力Q和加速度A分別為：

(6)

2 自由振動(dòng)慣性干擾分析與多階慣性補(bǔ)償方法

2.1 自由振動(dòng)各階振型的慣性干擾分析

結(jié)合俯仰力矩、法向力和加速度的級(jí)數(shù)表達(dá)式(6)，得到自由振動(dòng)第i振型對(duì)應(yīng)俯仰力矩Mi、法向力Qi和加速度Ai為:

(7)

(8)

式中,mi、qi和ai只與λi有關(guān)，而從式(3)的超越方程可以看出λ取決于質(zhì)量比系數(shù)η。

以常規(guī)高超聲速風(fēng)洞標(biāo)模測(cè)力試驗(yàn)為例，標(biāo)模質(zhì)量和天平-支桿總質(zhì)量之比約為1∶2，即η=0.5，其一、二階主振型對(duì)應(yīng)的俯仰力矩、法向力和加速度分布如圖3所示。

(a) 一階振型

(b) 二階振型

圖3 測(cè)力系統(tǒng)自由振動(dòng)振型及對(duì)應(yīng)的俯仰力矩分布mi(x)、法向力分布qi(x)和加速度分布ai(x)

Fig.3Forcemeasurementfreevibrationshapeandcorrespondingdistributionofpitchingmomentmi(x),normalforceqi(x)andaccelerationai(x)

分析圖3可知：

(1) 對(duì)于第i階振型，總存在i-1個(gè)非端部的“零點(diǎn)位置”。圖3(b)中,x=xm、x=xq和x=xa分別為俯仰力矩、法向力和加速度的零點(diǎn)。若天平處于俯仰力矩或法向力的零點(diǎn)，則振動(dòng)對(duì)天平俯仰力矩或法向力測(cè)量結(jié)果沒(méi)有影響，原則上不需要進(jìn)行補(bǔ)償，或者補(bǔ)償系數(shù)為零；如果加速度計(jì)處于零點(diǎn)位置，則加速度計(jì)無(wú)輸出、無(wú)法對(duì)氣動(dòng)力進(jìn)行補(bǔ)償，為了避免發(fā)生這種情況，應(yīng)使加速計(jì)安裝避開(kāi)各階“零點(diǎn)位置”。

(2) 各階振型對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力和加速度分布并不一致，因此不同振型對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力-加速度補(bǔ)償關(guān)系也不相同。

傳統(tǒng)慣性補(bǔ)償方法是將加速度計(jì)(位置在x=xA)測(cè)量的加速度乘以一個(gè)補(bǔ)償系數(shù)得到慣性力，然后與天平(位置在x=xB)所測(cè)得的氣動(dòng)力相加，得到消去慣性干擾的氣動(dòng)力，即:

(9)

式中,MT、QT分別表示傳統(tǒng)方法補(bǔ)償后的俯仰力矩和法向力；M、Q為原始俯仰力矩和法向力；KMA、KQA分別表示為俯仰力矩-加速度補(bǔ)償系數(shù)和法向力-加速度補(bǔ)償系數(shù)；A為加速度。

根據(jù)上述分析中的第2點(diǎn)，不同振型對(duì)應(yīng)的加速度補(bǔ)償關(guān)系并不一致，除非振動(dòng)只包含單一振型，顯然這與真實(shí)振動(dòng)情況相違背。傳統(tǒng)慣性補(bǔ)償方法無(wú)法同時(shí)滿足自由振動(dòng)各階補(bǔ)償關(guān)系，反而會(huì)使某些振型的補(bǔ)償出現(xiàn)錯(cuò)誤，造成誤差。

2.2 多階慣性補(bǔ)償方法

為了實(shí)現(xiàn)自由振動(dòng)各階振型差異化補(bǔ)償，達(dá)到精確補(bǔ)償?shù)哪康模疚奶岢龆嚯A慣性補(bǔ)償方法，具體內(nèi)容如下:

設(shè)天平位置在x=xB處，加速度計(jì)位置在x=xA處，對(duì)于第i階振型，補(bǔ)償關(guān)系為:

(10)

然后將各階振型補(bǔ)償后的氣動(dòng)力相加，可得補(bǔ)償結(jié)果，即多階慣性補(bǔ)償公式:

(11)

在自由振動(dòng)中，輸入的氣動(dòng)力為零，因此各階振型補(bǔ)償后的氣動(dòng)力也為零，即:

(12)

將式(12)和式(7)代入式(10)中，可得第i階自由振型補(bǔ)償系數(shù)為:

(13)

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證方法

為了進(jìn)一步說(shuō)明多階慣性補(bǔ)償方法的可行性，本文采用有限元軟件“ABAQUS”仿真懸臂梁受脈沖載荷激發(fā)沖激響應(yīng)的自由振動(dòng)過(guò)程。計(jì)算懸臂梁指定截面的彎矩、剪力和加速度作為天平和加速度計(jì)的輸出，然后利用離散小波變換和重構(gòu)分解加速度信號(hào)，最后代入多階慣性補(bǔ)償公式，得到多階慣性補(bǔ)償結(jié)果，其中補(bǔ)償系數(shù)可由式(13)求得。

數(shù)值仿真采用的懸臂梁模型基本參數(shù)為:長(zhǎng)度l=1m，矩形截面尺寸0.05m×0.05m，材料為F141鋼，彈性模量E=190GPa，密度ρ=8000kg/m3；天平位置xB=0.8×l；設(shè)置一個(gè)加速度計(jì)，位置xA=0.7×l，每間隔Ts=0.0001s記錄一次氣動(dòng)力和加速度數(shù)據(jù)，即采集頻率Fs=10000Hz；質(zhì)量比系數(shù)為η=0.5，在集中質(zhì)量上施加單位沖量作為脈沖載荷，使其獲得初速度v=0.1m/s。

本文用小波分析方法處理振動(dòng)信號(hào)，其具有時(shí)域和頻域同時(shí)局部化和多尺度分辨的功能，非常適合非平穩(wěn)信號(hào)的處理。設(shè)信號(hào)占據(jù)最高頻率空間V0，對(duì)于一個(gè)正交多分辨率分析，有…Vj+1?Vj…V1?V0，可知Vj+1是Vj的真子空間，則:

Vj=Vj+1⊕Wj+1

(14)

其中，Wj+1為Vj+1的正交補(bǔ)空間。Vj+1也稱為Vj的低頻子空間，表現(xiàn)了Vj對(duì)應(yīng)頻帶的低頻部分，為近似信號(hào)；Wj+1稱為Vj的高頻子空間，表現(xiàn)了Vj對(duì)應(yīng)頻帶的高頻部分，為細(xì)節(jié)信號(hào)。顯然這種分解可以持續(xù)進(jìn)行，有:

V0=W1⊕W2…⊕WJ⊕VJ,J∈N

(15)

上式表明原始信號(hào)可用一系列的細(xì)節(jié)信號(hào)和近似信號(hào)疊加而成，同時(shí)表明分解結(jié)果可以保證信號(hào)的完全重構(gòu)。由此可以將加速度信號(hào)(以A表示)進(jìn)行J層小波分解為:

(16)

式中,AaJ為第J層近似信號(hào)，Adj為第j層細(xì)節(jié)信號(hào)。

3.2 結(jié)果分析

由上述懸臂梁模型基本參數(shù)進(jìn)行理論分析，可以算出各階振型對(duì)應(yīng)的λi和ωi，代入式(13)，可得多階慣性補(bǔ)償系數(shù)，如表1所示。

表1 多階慣性補(bǔ)償系數(shù)Table 1 Multi-order inertial compensation coefficients

圖4為懸臂梁沖激響應(yīng)的加速度信號(hào)，可以看出：在初始時(shí)刻，加速度信號(hào)有較大范圍的波動(dòng)(因?yàn)槌跏紩r(shí)刻超高頻分量沒(méi)有完全衰減)；此后，加速度信號(hào)迅速趨于平穩(wěn)震蕩。由于初始時(shí)刻非常短暫，并不會(huì)對(duì)氣動(dòng)力補(bǔ)償結(jié)果造成較大的影響。

圖4 沖激響應(yīng)加速度信號(hào)

對(duì)“采集”到的天平和加速度信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，如圖5所示，可見(jiàn)天平和加速度信號(hào)的能量主要集中在前3階頻率，因此對(duì)懸臂梁前3階慣性力補(bǔ)償即可達(dá)到比較理想的效果。

根據(jù)加速度信號(hào)的前3階固有頻率分布情況(采集頻率Fs=10000Hz)，采用“dmey”小波進(jìn)行6尺度變換與重構(gòu)。根據(jù)離散小波子空間頻域劃分方法，加速度信號(hào)第1階、第2階和第3階固有頻率分別落在第6層近似信號(hào)、第5層細(xì)節(jié)信號(hào)和第4層細(xì)節(jié)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻域，因此經(jīng)過(guò)小波分解后，前3階加速度信號(hào)可以相互分離，如圖6所示。

圖5 天平和加速度信號(hào)頻譜分析

圖6 加速度信號(hào)小波分解

將加速度模態(tài)分解結(jié)果和表1中的補(bǔ)償系數(shù)代入式(11)中，得到氣動(dòng)力的多階慣性補(bǔ)償結(jié)果；而將天平和加速度信號(hào)代入式(9)中，利用最小二乘法擬合公式(9)，得到傳統(tǒng)方法的補(bǔ)償系數(shù)；反過(guò)來(lái)將補(bǔ)償系數(shù)和加速度信號(hào)代入式(9)中，可得到傳統(tǒng)方法補(bǔ)償結(jié)果，如圖7所示。圖7中M和Q表示天平原始數(shù)據(jù)，MT和QT表示傳統(tǒng)方法補(bǔ)償結(jié)果，MC和QC表示多階慣性補(bǔ)償結(jié)果。

可以看出：(1) 相比傳統(tǒng)補(bǔ)償方法，多階慣性補(bǔ)償方法進(jìn)一步降低了天平震蕩的幅值，縮短了天平的穩(wěn)態(tài)時(shí)間，提高了天平的響應(yīng)速度。(2) 采用單個(gè)加速度計(jì)的傳統(tǒng)補(bǔ)償方法只能補(bǔ)償或部分補(bǔ)償氣動(dòng)力的單一頻率分量，而多階補(bǔ)償方法對(duì)氣動(dòng)力的前3階頻率分量都能補(bǔ)償;如果進(jìn)一步提高多階慣性補(bǔ)償?shù)碾A數(shù)，可以使其補(bǔ)償精度更高。(3) 采用理論補(bǔ)償系數(shù)進(jìn)行多階慣性補(bǔ)償，良好的補(bǔ)償效果驗(yàn)證了理論分析的正確性。

(a) 俯仰力矩

(b) 法向力

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用振動(dòng)力學(xué)理論對(duì)測(cè)力系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，根據(jù)不同振型振動(dòng)干擾與加速度分布規(guī)律不一致的特點(diǎn)，提出了多階慣性補(bǔ)償方法。多階慣性補(bǔ)償方法解決了傳統(tǒng)方法對(duì)天平信號(hào)多頻振動(dòng)干擾補(bǔ)償精度不高的問(wèn)題，進(jìn)一步提高了天平的動(dòng)態(tài)特性。在后續(xù)工作中，應(yīng)進(jìn)一步研究測(cè)力系統(tǒng)受強(qiáng)迫載荷下的振動(dòng)特性以及補(bǔ)償方法；如果使用多個(gè)加速度計(jì)進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，如何應(yīng)用多階慣性補(bǔ)償方法以及如何布置加速度計(jì)的相對(duì)位置,可作為下一步研究重點(diǎn)。