需求受隨機(jī)因素影響下零售商的最優(yōu)訂貨策略

盧月莉，趙恒明，覃榮存

(廣西大學(xué)行健文理學(xué)院， 南寧 530004)

延期支付是一種短期的商業(yè)信貸方式，也稱為信用支付，已被廣泛應(yīng)用于商業(yè)貿(mào)易活動(dòng)中。許多企業(yè)為了加速資金周轉(zhuǎn)、及時(shí)收回貨款、減少壞賬損失，在提供信用支付策略的同時(shí)，往往采取一些優(yōu)惠措施。若零售商承諾在更短的時(shí)間內(nèi)付款，則供應(yīng)商對(duì)貨款給予一定的現(xiàn)金折扣，這不僅對(duì)零售商的購買數(shù)量及付款時(shí)間具有積極的影響，還可以促進(jìn)雙方建立起長期的合作關(guān)系。

文獻(xiàn)[1]首先提出了允許延期支付的經(jīng)濟(jì)訂購批量模型，隨后許多文獻(xiàn)從多方面對(duì)該模型進(jìn)行了擴(kuò)展。文獻(xiàn)[2]在延期支付和價(jià)格折扣策略下，從供應(yīng)商的角度研究有條件的延期支付策略設(shè)置問題。文獻(xiàn)[3]基于兩級(jí)信用支付研究了一個(gè)由單供應(yīng)商和多個(gè)零售商組成的易腐品供應(yīng)鏈的聯(lián)合采購博弈問題。文獻(xiàn)[4]基于兩層次和等級(jí)信用支付策略研究了變質(zhì)性產(chǎn)品的庫存模型。文獻(xiàn)[5]在考慮零售商風(fēng)險(xiǎn)偏好的情況下，研究了商業(yè)信用合同與收益共享契約組合下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。一些文獻(xiàn)在信用支付基礎(chǔ)上結(jié)合現(xiàn)金折扣策略進(jìn)行了拓展[6-12]。例如：文獻(xiàn)[6]考慮了零售商采購價(jià)格與銷售價(jià)格的差異；文獻(xiàn)[7]對(duì)一般產(chǎn)品考慮了非瞬時(shí)補(bǔ)貨的情形;文獻(xiàn)[8]對(duì)變質(zhì)產(chǎn)品考慮非瞬時(shí)補(bǔ)貨的情況; 文獻(xiàn)[9] 研究了幾類確定性需求的產(chǎn)品的庫存問題；文獻(xiàn)[10]考慮了變質(zhì)產(chǎn)品且需求依賴庫存的情形；文獻(xiàn)[11]研究了易腐產(chǎn)品的供應(yīng)鏈一體化庫存模型; 文獻(xiàn)[12]在兩貨棧情形下研究了變質(zhì)產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨策略。上述文獻(xiàn)都是在產(chǎn)品需求為確定性的基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究。

傳統(tǒng)的庫存問題研究通常把產(chǎn)品的需求作為外因，假設(shè)需求率為常數(shù)。然而，現(xiàn)實(shí)中許多產(chǎn)品的需求率并非固定不變，產(chǎn)品的市場需求可能會(huì)受到時(shí)間[13-16]、價(jià)格[17-18]、庫存水平[19-20]等因素的影響。因此，研究需求受隨機(jī)因素影響，供應(yīng)商給予信用支付和現(xiàn)金折扣政策下的零售商最優(yōu)訂貨策略更具有現(xiàn)實(shí)意義。本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，修正有關(guān)的研究假設(shè)，建立了供應(yīng)商提供信用支付與現(xiàn)金折扣及考慮產(chǎn)品需求受隨機(jī)因素影響下的零售商庫存決策模型，并給出零售商在上述情況下的最優(yōu)訂購量和最優(yōu)付款時(shí)間的計(jì)算方法。

1 假設(shè)與符號(hào)

本文所研究的供應(yīng)鏈系統(tǒng)由一個(gè)零售商和一個(gè)供應(yīng)商所構(gòu)成，零售商在供應(yīng)商給予的延期支付和現(xiàn)金折扣策略下決定最優(yōu)的訂購策略。為了便于建立模型，本文給出如下假設(shè)：

1) 庫存系統(tǒng)只考慮單一產(chǎn)品，允許缺貨。

2) 累積需求函數(shù)D(t)=α(t)+X，其中α(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)且初始時(shí)刻α(0)=0；X是概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(X)和F(X)的隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望E[X]=0。

3) 由于需求的不確定性，將采用經(jīng)典報(bào)童問題的方法處理周期末可能會(huì)出現(xiàn)的產(chǎn)品剩余或缺貨情況，即剩余產(chǎn)品將折價(jià)處理，而缺貨會(huì)引起缺貨懲罰。

4) 供應(yīng)商給予不同的信用支付和現(xiàn)金折扣策略供零售商選擇，零售商在信用期內(nèi)無需支付任何貨款，可利用累積的銷售收入獲得利息收益，而信用期結(jié)束時(shí)，零售商要立即向供應(yīng)商支付所有貨款，其未售出產(chǎn)品會(huì)因占用資金而產(chǎn)生利息支出。

模型所用的符號(hào)：Q為一個(gè)周期的訂購量；T為訂購周期；M為供應(yīng)商給予零售商的延期支付期限；c為單位產(chǎn)品訂購成本；p為單位產(chǎn)品銷售價(jià)格；b為單位產(chǎn)品缺貨費(fèi)；g(g

2 模型的建立

本文考慮文獻(xiàn)[9] 給出的訂購策略：

(1)

其中：cr是單位產(chǎn)品的最高訂購價(jià)；Mi和δi一般由供應(yīng)商根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)制定。當(dāng)M>M3時(shí)，c→∞，即供應(yīng)商不提供過長的信用期，避免帶來不可預(yù)見的風(fēng)險(xiǎn)。

基于上述分析與假設(shè)，零售商的利潤=銷售收入+殘值+利息收益-訂購費(fèi)-缺貨費(fèi)-利息支付，各項(xiàng)計(jì)算如下：

① 訂購費(fèi)=cQ；

② 銷售收入=pmin{Q，D(T)}；

③ 殘值=g[Q-D(T)]+；

④ 缺貨費(fèi)=b[D(T)-Q]+；

⑤ 利息支付與利息收益和M與T的大小有關(guān)，分以下兩種情形討論：

情形1M

TP1(Q)=pmin{Q，D(T)}-cQ+

g[Q-D(T)]+-b[D(T)-Q]++

情形2M≥T

為了得到零售商的期望利潤函數(shù)，首先根據(jù)需求函數(shù)D(t)=α(t)+X算出如下數(shù)學(xué)期望：

因此，當(dāng)M

當(dāng)M≥T時(shí)，零售商的期望利潤為

其中i=1，2，3，M∈{M1，M2，M3}。

庫存系統(tǒng)的目標(biāo)是決策最優(yōu)的訂購量Q*使期望利潤函數(shù)EP(Q)取得最大值，其中

3 模型分析與求解

為了方便討論，令θ1=p-c+b+pIeM，θ2=p-g+b+pIeM+cIp(T-M)，θ3=p-g+b+pIeM。

情形1M

分別求EP1i(Q)的1階和2階導(dǎo)數(shù)，得：

(p-g+b)F(Q-α(T))-

證明由于α(t)是增函數(shù)且t≤T，則α(t)≤α(T)，而分布函數(shù)F(X)也是增函數(shù)，則

情形2M≥T

同理，分別求EP2i(Q)的1階和2階導(dǎo)數(shù)，得:

(p-g+b)F(Q-α(T))-

(M-T)F(Q-α(T))]

證明由于α(t)是增函數(shù)且t≤T，則α(t)≤α(T)，而分布函數(shù)F(X)也是增函數(shù)，則

現(xiàn)在討論零售商的最優(yōu)訂購策略，即求解模型的算法：

步驟0 輸入相應(yīng)各參數(shù)。

4 數(shù)值實(shí)例

下面將通過數(shù)值例子和靈敏度分析的方法介紹最優(yōu)訂購策略的求解過程，并分析不同參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)訂購策略的影響。

例1 不同信用支付與現(xiàn)金折扣策略下的最優(yōu)解。

當(dāng)供應(yīng)商分別提供兩種不同的信用支付與現(xiàn)金折扣策略，而其他參數(shù)不變時(shí)，各種情形下的最優(yōu)解如表1所示，比較得到零售商的最優(yōu)訂購方案分別為{EP11=4 769.78，Q*=142.71，M*=60/360}和{EP12=4 679.70，Q*=141.74，M*=120/360}。結(jié)果表明：不同的訂購策略對(duì)期望利潤的影響較為顯著。一般來說，當(dāng)供應(yīng)商提供的現(xiàn)金折扣較高時(shí)，零售商選擇較短的信用期所獲利潤更大。

表1 不同信用支付與現(xiàn)金折扣策略下的最優(yōu)解

例2 需求的隨機(jī)因子對(duì)訂購策略的影響。

假設(shè)δ1=15%，δ2=10%，δ3=0%，其他參數(shù)與例1相同。當(dāng)隨機(jī)變量分布在不同范圍時(shí)，最佳付款時(shí)間點(diǎn)為M*=M2=120/360，最優(yōu)訂購量與最優(yōu)期望利潤如表2所示。

表2 X對(duì)Q*和EP(Q*)的影響

從表2可知：當(dāng)隨機(jī)變量分布區(qū)間變大時(shí)，最優(yōu)訂購量變大，而最優(yōu)期望利潤變小。這說明，當(dāng)產(chǎn)品的需求受到隨機(jī)因素影響較為顯著時(shí)，為了避免缺貨帶來如服務(wù)水平降低、缺貨損失銷售機(jī)會(huì)等不良影響，零售商需訂購更多的產(chǎn)品來滿足需求。而需求的不確定性會(huì)導(dǎo)致周期末出現(xiàn)產(chǎn)品剩余(折價(jià)處理)或缺貨(產(chǎn)生缺貨懲罰)，因此期望利潤會(huì)變小。由此可見：需求的不確定性對(duì)產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的影響不可忽視。

例3 缺貨費(fèi)和產(chǎn)品殘值對(duì)訂購策略的影響。

為了得到更顯著的結(jié)果，假設(shè)X～U[-100，100]，其他參數(shù)不變。計(jì)算得最佳付款時(shí)間點(diǎn)都是M*=M1=60/360年，而最優(yōu)訂購量與最優(yōu)期望利潤分別見表3、4。

表3 b對(duì)Q*和EP(Q*)的影響

表4 g對(duì)Q*和EP(Q*)的影響

從表3可以看出： 在隨機(jī)變量的分布范圍較大的情況下，當(dāng)單位缺貨費(fèi)變大時(shí)，最優(yōu)訂購量和期望利潤都只有微小變化，說明單位缺貨費(fèi)對(duì)最優(yōu)訂購量和期望利潤的影響不大，零售商應(yīng)該考慮訂購更多的產(chǎn)品來滿足需求，避免出現(xiàn)缺貨，從而提高服務(wù)水平。

由表4可知：當(dāng)單位商品殘值變大時(shí)，最優(yōu)訂購量和期望利潤都逐漸變大。這是因?yàn)楫?dāng)單位商品殘值變大時(shí)，缺貨對(duì)期望利潤的影響較小，一方面，若需求變大則銷售收入變大，從而利息收益變大；另一方面，若供過于求導(dǎo)致周期末產(chǎn)品有剩余，還有殘值收入，此時(shí)零售商可以考慮訂購更多的產(chǎn)品獲得更大的利潤。

5 結(jié)束語

供應(yīng)商在給予零售商信用支付的同時(shí)，為了盡早收回貨款，加速資金周轉(zhuǎn)或減少壞賬損失，往往會(huì)結(jié)合現(xiàn)金折扣來吸引零售商盡早支付貨款。在現(xiàn)實(shí)生活中，產(chǎn)品的市場需求受到各種隨機(jī)因素的影響，并非是固定不變的，具有一定的不確定性。因此，本文在考慮信用支付與現(xiàn)金折扣的基礎(chǔ)上，考慮產(chǎn)品需求受隨機(jī)因素影響的情形，建立了相應(yīng)的零售商庫存決策模型，使模型更接近實(shí)際情況，得到最優(yōu)訂購量和最優(yōu)付款時(shí)間的計(jì)算方法，為零售商及時(shí)根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整自己的訂貨策略提供了決策依據(jù)。