一類奇異非線性微分系統(tǒng)正周期解的存在性

陳瑞鵬，李小亞

(北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 寧夏 銀川 750021)

1 研究背景

近年來，諸多學(xué)者致力于研究一階非線性微分方程

x′+a(t)x=f(t，x)

(1)

周期解的存在性及其相關(guān)性質(zhì)[1-13]，其中a∈L1(R/ωZ，R+)，非線性項(xiàng)f∈Car(R/ωZ×[0，∞)，R)，即f|[0，∞]∶[0,ω]×[0，∞)→R是一個(gè)L1-Carathéodory函數(shù)。作為一類重要的數(shù)學(xué)模型，該方程旨在描述與呼吸、心律失常及血細(xì)胞生成等密切相關(guān)的多種人體生理過程[1-3]。

同時(shí)，方程(1)所對應(yīng)的一階微分系統(tǒng)備受關(guān)注[14-16]。2011年，Wang[15]研究了帶有奇異非線性項(xiàng)的微分系統(tǒng)：

λbi(t)fi(x1，x2，…,xn)，

i=1，2，…，n

(2)

其中ai，bi∈C(R，[0，∞))為ω-周期函數(shù)且滿足

fi為連續(xù)的嚴(yán)格正函數(shù)且在(0，0，…，0)處有奇性。 運(yùn)用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理，該文證明了當(dāng)參數(shù)λ>0充分小時(shí)，系統(tǒng)(2)存在2個(gè)正周期解.然而并未得到參數(shù)較大時(shí)正周期解的存在性結(jié)果。隨后，Chen等[16]對Wang的結(jié)果做了進(jìn)一步推廣和改進(jìn)，并證明了存在λ0>0，使得當(dāng)0<λ<λ0時(shí)，系統(tǒng)(2)至少存在2個(gè)正周期解；當(dāng)λ=λ0時(shí)，系統(tǒng)(2)至少存在1個(gè)正周期解；當(dāng)λ>λ0時(shí)，系統(tǒng)(2)不存在正周期解。

方便起見，記ξ*和ξ*分別為ξ∈L1(0，ω)的本性上界和本性下界，若ξ≥0，a.e.t∈[0，ω]且在某個(gè)正測集上嚴(yán)格為正，則記為ξ>0，受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將為一階非線性微分系統(tǒng)

(3)

建立正周期解的存在性結(jié)果。雖假設(shè)非線性項(xiàng)g1和g2在0處仍具有奇性，但是將給予這種奇性更為精確的刻畫，即假設(shè)：

(A1)a，h∈L1(R，[0，+∞))為ω-周期函數(shù)且滿足

(A2)c1，c2∈L1(R，[0，+∞))為ω-周期函數(shù)，gi|[0,ω]:[0,ω]×(0,∞)→R為L1-Carathéodory函數(shù)，i=1，2;

s∈[1，∞)，a.e.t∈[0，ω]，i=1，2

s∈(0，1)，a.e.t∈[0，ω]，i=1，2

注1 條件(A1)保證了線性方程u′+a(t)u=0(v′+h(t)v=0)是非共振的，其相應(yīng)的Green函數(shù)為

引理1[17-18](Schauder不動點(diǎn)定理) 設(shè)K是Banach空間S中的一個(gè)非空有界閉凸集，且算子A∶K→K全連續(xù)，則A在K中必存在不動點(diǎn)。

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)將在更為精確的奇異性假設(shè)(A3)下，運(yùn)用Schauder不動點(diǎn)定理為一階奇異微分系統(tǒng)(3)建立正周期解的存在性結(jié)果。

首先，定義

(4)

δi=maxνi，βi，ηi=maxαi，μi，

(5)

定理1 假設(shè)(A1)(A2)和(A3)成立，若γ1*≥0，γ2*≥0，則系統(tǒng)(3)存在一個(gè)正ω-周期解。

證明記Sω為連續(xù)的ω-周期函數(shù)全體構(gòu)成的空間。定義算子A(u，v)=(A1u，A2v):Sω×Sω→Sω×Sω為

不難驗(yàn)證A是一個(gè)全連續(xù)算子，并且系統(tǒng)(3)的一個(gè)ω-周期解恰為A的一個(gè)不動點(diǎn)。 令

K={(u，v)∈Sω×Sω∶r1≤u(t)≤R1，

r2≤v(t)≤R2，?t∈[0，ω]，Ri>1，i=1，2}

其中R1>r1>0，R2>r2>0是待定常數(shù)。由引理1可知若全連續(xù)算子A把有界閉凸集K映入自身，則A在K中存在不動點(diǎn)，從而系統(tǒng)(3)必存在正ω-周期解。

對給定的函數(shù)φ，記

Ji1={t∈[0，ω]ri≤φ(t)<1}

Ji2={t∈[0，ω]1≤φ(t)≤Ri}，i=1，2

任取(u，v)∈K，由Gi(t，s)和gi的正性及條件(A3)可得

同理，對任取的(u，v)∈K，有

通過類似討論可得

以及

現(xiàn)在，只需確定常數(shù)Ri，ri，它們應(yīng)滿足Ri>ri>0，Ri>1，且使得下列各式同時(shí)成立：

此時(shí)，可選取R>1充分大，則由條件ηi<1和νi<1可知以上各式同時(shí)成立，于是系統(tǒng)(3)必存在一個(gè)正ω-周期解。

推論1 假設(shè)(A1)(A2)和(A3)成立，則系統(tǒng)

(6)

存在一個(gè)正ω-周期解。

證明由ci(t)≡0結(jié)合式(4)易得γi(t)≡0，故γ1*=γ2*=0。再由定理1知結(jié)論成立。

定理2 假設(shè)(A1)、(A2)和(A3)成立且

(7)

(8)

(9)

(10)

則系統(tǒng)(3)存在正ω-周期解。

證明定義有界閉凸集

K={(u，v)∈Sω×Sω∶r1≤u(t)≤R1，

r2≤v(t)≤R2，t∈[0，ω]，Ri>1>ri>0}

其中Ri，ri仍為待定常數(shù)。由引理1知若A把有界閉凸集K映入自身，則A在K中存在不動點(diǎn)，從而系統(tǒng)(3)存在一個(gè)正ω-周期解。

任取(u，v)∈K，由條件(A1)、(A3)和R2>1>r2可得

通過類似估計(jì)可得

現(xiàn)在，只需確定常數(shù)Ri，ri，它們應(yīng)滿足Ri>1>ri>0，i=1，2，且使得下列各式同時(shí)成立：

(11)

(12)

(13)

時(shí)，式(12)中第1個(gè)不等式成立。定義函數(shù)

·r2δ1η2

時(shí)式(12)中第1個(gè)不等式必成立，而上式恰為條件式(9)。

這恰為已知條件式(10)。最后，由條件式(7)和(8)易知Ri>1>ri>0成立，從而系統(tǒng)(3)必存在正ω-周期解。