淺談對培養學生數學的思維能力的思考

高中數學在傳授數學知識的同時，同樣重要的是培養學生的思維能力，培養良好思維品質的，通過有效的訓練提高學生實際生活的能力，把數學思維應用到實際生活中去，故本文在了解、理解數學思維的同時，對數學思維的培養進行了部分探討。

首先，數學思維具有變通性，對應的知識不一樣，思維思考方向也會不一樣，故需要學生根據題設的相關知識，提出靈活設想和解題方案。數學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性。學生有善于觀察的習慣，心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提。任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系。要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

例如：求和[11·2+12·3+13·4+]……[+1n+1]，這些分數相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，且[1n（n+1）=1n-1n+1]，因此，原式等于[1-12+12-13+]……[+1n-1n+1=1-1n+1]問題很快就解決了。

同時在思考問題時善于聯想，聯想以前見過的、思考過、聽過的等，聯想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入。更深層次的我們要善于將問題進行轉化，數學家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數學解題是命題的連續變換。可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系。

其次，數學為何成為學生從小必須學習的科目？因為它對孩子將來的做事能力的提升等實際問題非常重要，故在學習時要注意數學思維的反思性，根據自身的情況提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信，這也是實際生活的需要。數學思維的反思性表現在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法，它和創造性思維存在著高度相關。故加強學生思維的嚴密性的訓練，培養他們的創造性思維。在實際操作中，注意檢查思路是否正確，注意發現其中的錯誤。在數學題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反思性地看問題。同時驗算的訓練也是反思訓練的一種，驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。養成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數方程、對數不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數式的定義域可能會發生變化，這樣就有可能產生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。同時在實際生活中注意對事件的反省觀察，對事件結果的核實也是生活必須的。

在遇到實際的問題時要學會獨立思考，敢于發表不同見解，受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養創造性思維。

再次，由于數學是一門嚴謹的科學，數學思維的嚴密性，考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤，故在學習數學時提升前因后果的意識，問題的嚴密性。

中學生的思維過程常常出現不嚴密現象，主要表現在以下幾個方面：概念模糊，判斷錯誤，推理錯誤概念是數學理論體系中十分重要的組成部分。它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和外延，為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂，產生錯誤。判斷是對思維對象的性質、關系、狀態、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數學中的判斷通常稱為命題。在數學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。

例如：“函數[y=（13）-x]是一個減函數”就是一個錯誤判斷。推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯合。任何一個論證都是由推理來實現的，推理出錯，說明思維不嚴密。

思維的嚴密性是學好數學的關鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯，概念的訓練，推理的訓等。概念是抽象思維的基礎，數學推理離不開概念。“正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。”數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。

例如：證明勾股定理：已知在[?ABC]中，[∠C=90°]，求證[c2=a2+b2]。

錯誤證法：在[Rt?ABC]中，[sinA=ac]，[cosA=bc]而[sin2A][+cos2A=1]，[∴（ac）2+（bc）2=1]，即[c2=a2+b2]。

錯誤分析：在現行的中學體系中，[sin2A+cos2A=1]這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環論證。循環論證的錯誤是在不知不覺中產生的，而且不易發覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內容，又要熟悉它們的證明方法和所依據的論據。這樣才能避免循環論證的錯誤。發現本題犯了循環論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現。

第四，對每個數學問題或生活的實際問題都具有多面性，解決問題可以從不同的地方著手，故需要關注數學思維的開拓性，對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法，即一題多解。“數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯系，把親緣關系結成一張網，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發學習數學的興趣和積極性，達到開發潛能，發展智力，提高能力的目的。從而培養創新精神和創造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發現解題規律，從中發現最有意義的簡捷解法。數學思維的開拓性主要體現在：

一題的多種解法：

例如：已知復數[z]滿足[z=1]，求[z-i]的最大值。

我們可以考慮用下面幾種方法來解決：①運用復數的代數形式；②運用復數的三角形式；③運用復數的幾何意義；④運用復數模的性質（三角不等式）[z1-z2≤z1-z2≤z1+|z2|]；⑤運用復數的模與共軛復數的關系[z22=z·z]；⑥（數形結合）運用復數方程表示的幾何圖形，轉化為兩圓[z1=1]與[z-i=r]有公共點時，[r]的最大值。

一題的多種解釋：

例如：函數式[y=12ax2]可以有以下幾種解釋：①可以看成自由落體公式[s=12gt2]；②可以看成動能公式[E=12mv2]；③可以看成熱量公式[Q=12RI2]。

又如“1”這個數字，它可以根據具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。“1”可以變換為：[logaa]，[xx]，[sin2x+cos2x]，[logab·][logba]，[sec2x-tg2x]，等等。

總之數學解題的思維過程是指從理解問題開始，經過探索思路，轉換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。對于數學解題思維過程，G.波利亞提出了四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質，可以用下列八個字加以概括：理解、轉換、實施、反思。理解問題是解題思維活動的開始。轉換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發現過程，是思維策略的選擇和調整過程。計劃實施是解決問題過程的實現，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。反思問題往往容易為人們所忽視，它是發展數學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束包含另一個新的思維活動過程的開始。而數學思維能力正是實際生活事件的解決問題的理論化，數學化，所以我們在教學時需結合實際來理解數學思維，提升數學思維，從而讓學生解決實際問題的能力得到提升。

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作者簡介

何德偉，性別：男；民族：漢；學歷：本科；中學教師；工作單位：四川省石室中學。