簡單多面體的外接球半徑問題求解突破策略

謝能實

（連江黃如論中學，福建 福州 350500）

有關簡單多面體的外接球問題，是立體幾何的一個重點和難點，也是高考考查的一個熱點。簡單多面體的外接球問題，能很好地考查學生應用圖形和空間想象思考問題的意識，考查學生的直觀想象和邏輯推理等核心素養。作為高三復習的專題內容，簡單多面體的外接球問題仍是立體幾何的重點和難點。

一、補形法求半徑

（一）補成長方體模型法

［例1］在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1,BC=，求三棱錐S-ABC的外接球的體積。

策略分析：補形法。

依題意得SA,AB,AC兩兩垂直，因此可以把三棱錐S-ABC補形成長方體ABDC-SB1D1C1，如圖1所示。

圖1

三棱錐S-ABC的外接球即為長方體ABDCSB1D1C1的外接球。

的

常見的可以補成長方體模型其實就是長方體八個頂點中選取四個頂點構成三棱錐。

圖2

圖3

圖4

情形1（如圖2），三棱錐B1-ABD，棱AB,BD,B1B兩兩垂直，可以補形成長方體；

情形2（如圖3），三棱錐C1-ABD，側面中直角三角形ABC1和直角三角形ADC1有公共斜邊AC1，可以補形成長方體；

情形3（如圖4），三棱錐A1-BDC1，三組對棱分別相等，可以補形成長方體。

特別地，當例1和情形1（如圖2）中三條兩兩垂直的棱長相等時，可以補形成正方體；當情形3（如圖4）中的三棱錐為正四面體時，可以補形成正方體。

（二）補成直棱柱模型法

［例2］在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=2，AC=BC= 3，求三棱錐S-ABC的外接球的半徑。

策略分析：因為SA⊥平面ABC，所以可把三棱錐S-ABC（如圖5）補成直棱柱（如圖6），點 D,F分別是上下底面的外心，則DF的中點O即為外接球的球心。

圖5

圖6

通過例題可以發現，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點，長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處，所以就轉化為求相應直三棱柱和長方體外接球的問題。用補形法解決外接球的問題策略與途徑：正四面體可補形成正方體；三條棱兩兩垂直的四面體可補形成長方體；三組相對的棱都相等的三棱錐可補形成長方體；共斜邊的兩個直角三角形為面的三棱錐可補形成長方體；一條側棱垂直于底面的棱錐可補成直三棱柱。

二、外心定球心法求半徑

［例3］正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的表面積。

解析：如圖7，設球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，

∵正四棱錐P-ABCD，AB=2,

圖7

∴ AO′= 2，

∵ PO′=4，

∴在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2，

［例4］已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AD ⊥ AB，AB=2,AC=CD=1，將梯形ABCD沿對角線AC折疊成三棱錐D-ABC，當二面角D-AC-B是直二面角時，求三棱錐D-AB的外接球的體積。

圖8

解析：如圖，由條件知△ABC是以AB為直徑的直角三角形，

所以OD=1，從而OC=OB=OA=OD=1，即O為三棱錐D-ABC的外接球的球心，R=1，故三棱錐D-ABC的外接球的體積為

一般棱錐的外接球的球心是在經過棱錐的面的外接圓的圓心，且垂直于這個面的直線上。實施以外心探索球心的方法求解外接球半徑問題的策略，分以下步驟：

（1）找多面體某個面的外心；

（2）再找這個面的過這個外心的垂線（球心在此垂線上）；

（3）利用球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關系，d2+r2=R2求外接球半徑。其中，等邊三角形的外心，即中心；直角三角形的外心就是斜邊中點，r為斜邊一半；非特殊三角形，可用正弦定求其外接圓半徑。

解決外接球半徑的問題，主要突破策略是補形和以外心探索球心這兩種方法。補形法是解決三棱錐外接球問題非常重要的數學方法，學生在做題時如果準確把握和識別應用補形法的條件，就能將復雜的問題簡單化，提高解題效率。以外心探索球心的方法，就是選擇最佳角度找出含有多面體特征元素的外接球的球心位置，進一步求得球的半徑，從而把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究的一種方法。

三、軌跡法求半徑

解決簡單多面體的外接球問題時，方法的選擇在依據試題給出的條件，以上給出了解決簡單多面體外接球問題的常見的方法，遇到較為復雜的問題，要應用化歸思想轉化為上述的解題策略來解決的。

圖9

［例5］在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=AB=BC=2，求 三 棱 錐 PABC的外接球的半徑。

解析：如圖，設點M和點G分別是△PAC和△ABC外心，過M作MO⊥平面PAC，過G作GO⊥平面ABC，MO與GO交于點O，則點O為棱錐P-ABC的外接球的球心。

此題通過兩次應用以外心探索球心的方法，找出球心O的位置，然后找到相應的等量關系求出外接球半徑。

［例6］空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一球面上，E,F分別是AB,CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，求該球的半徑。

策略分析：四面體ABCD的四個面都無法確定，因此無法確定各個面的外心，無法用補形法或以外心探索球心法解決此題。在無法確定外接球的球心時，我們盡量想辦法縮小球心的位置區域。其實，到C,D兩點的距離相等的點的軌跡是過EF且垂直直線CD的平面，到A,B點的距離相等的點的軌跡是過EF且垂直直線AB的平面，因此，外心應在直線EF上，如圖10所示。

圖10

此題是通過球心落在棱的中垂面上來求解。因此，解無定法，只有通過不斷學習，積累數學活動經驗，提高數學解題能力，才能在千變萬化的條件中找到解題的策略與方法。

總之，多面體的外接球問題是有關球的問題的基本題型之一，它能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力，培養直觀想象的核心素養。這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，尋找球心也成為解決此類問題的難點和關鍵。限于篇幅，以上僅重點介紹補形和以外心探索球心這兩種基本方法，并結合運動觀點探究軌跡法求外接球半徑，達到掌握解決此類問題的策略和途徑。