等腰三角形的“三線合一”的性質及綜合運用

鄧儉

【摘要】“三線合一”是等腰三角形的重要性質，是指等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線以及頂角平分線相互重合.“三線合一”性質非常重要，熟練掌握此性質就可以有效突破解題難點，快速找到解題的方法.本文結合具體例題探討了等腰三角形的三線合一的性質及其綜合運用.

【關鍵詞】等腰三角形；三線合一；性質；運用

等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線相互重合，我們將等腰三角形的這一特性簡稱為“三線合一”.“三線合一”是等腰三角形重要性質之一.其主要特點體現在認下三個方面：① 等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；② 等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，且平分頂角；③ 等腰三角形底邊上的高平分底邊且平分頂角.可見，等腰三角形的“三線合一”性質是一個多功能性質定理，可用于證明兩角相等，證明兩條線段相等，證明兩線互相垂直，證明某直線或線段垂直平分某線段.以上是等腰三角形的性質定理.這些性質定理在幾何問題中被廣泛應用.下面以近幾年來各地的中考試題的改編題為例，針對等腰三角形的“三線合一”的分類應用加以闡述，供大家參考.

一、求線段最值

在解決和線段有關的數學問題時，如果可以同時用全等三角形和等腰三角形的知識來解決，則提倡運用等腰三角形的“三線合一”的性質來解決問題.這樣一來，可以有效地鍛煉學生運用“三線合一”性質的能力，促進他們對“三線合一”性質的理解和掌握.

例1 如圖1所示，在△ABC中，邊AB與邊AC長度均為5，邊BC長度為6，如果點H在邊AC上移動，請計算BH長度的最小值.

解析 經過A點作AP垂直BC于P點，已知AC=AB=5，BC=6，根據等腰三角形的“三線合一”性質，可知BC被AP垂直平分，得到BP=3，及直角三角形APB，根據勾股定理可知AP=4，又由垂直線段最短，可知當BH垂直于邊AC時，BH取最小值，根據等面積法，可得AP·BC=BH·AC，即4×6=5×BH，可得BH=245.

總結 該題目主要考查的是學生對等腰三角形“三線合一”性質、勾股定理、等面積法則的理解和運用，另外還考查了學生為解決等腰三角形問題做輔助線的技巧.

二、證明直線垂直

在解答兩線垂直的證明問題時，如果題目滿足以下兩個條件即可運用等腰三角形的“三線合一”性質來證明：① 三角形是等腰三角形.② 兩線的其中一條線是三角形底邊上的中線或頂角平分線.

例2 如圖2所示，已知BC=BF，∠C=∠F，CD=FE，G為DE的中點，求證：BG垂直于DE.

解析 根據題目條件可知，點G為邊DE的中點，要證明BG垂直于DE，若將BD和BE連接，則只需證明BD=BE就可證明三角形BDE為等腰三角形，根據等腰三角形的“三線合一”性質證明BG垂直于DE.

證明 連接BD和BE，在△BCD和△BFE中，因為BC=BF，∠C=∠F，CD=FE，所以△BCD≌△BFE.因為BD=BE，所以△BDE為等腰三角形，而BG是等腰三角形BDE是底邊上的中線，所以BG垂直于DE.

總結 該題目主要考查了學生對等腰三角形的“三線合一”性質、全等三角形的判及性質的理解和應用.

三、處理角與角之間的關系

在解答關于角之間關系的題目時，可以運用等腰三角形的“三線合一”性質，將題目已知條件與待證的角的關系聯系到一起，從而簡化問題的解決步驟.

例3 如圖3所示，∠D，∠E為直角，CD=BE，點F是CE與BD的交點，點G是BC的中點.求證：∠CFG=∠BFG.

解析 因為點G是BC的中點，我們很自然就能聯想到等腰三角形的“三線合一”性質.要證明∠CFG=∠BFG，只需證明CF=BF，再根據點G是BC中點，就能得出FG是∠BFC的角平分線，從而證出結論.

證明 因為∠DFC等于∠EFB，∠D，∠E為直角，CD=BE，所以△DFC≌△EFB，則CF=BF，所以△CFB為等腰三角形，又因為點G是BC中點，所以根據等腰三角形的“三線合一”性質可知FG是∠BFC的角平分線，所以∠CFG=∠BFG.

總結 本題目主要考查了學生對全等三角形的性質、等腰三角形的“三線合一”性質的理解和掌握，還考查了學生綜合運用定理進行推理的能力.

四、結束語

綜上所述，在歷年的中考試卷中，與等腰三角形的“三線合一”性質有關的綜合應用題經常出現，已然成為中考命題中考查三角形的一大熱點.同學們在今后的學習中一定要重視“三線合一”性質的理解和運用，多動腦、勤動手，才能真正做到靈活運用.

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