面向避障和緊湊的浮動滾子推桿盤形凸輪機構尺寸綜合問題

林夢杰 李延平 常 勇

集美大學機械與能源工程學院，廈門，361021

1 問題的提出

2010年，源于引進德國海德堡高速印刷機機構后消化吸收的工程實際背景，筆者歸納出以下具有一般性的浮動滾子推桿盤形凸輪機構問題［1］：

（1）Ⅰ類尺寸綜合問題。已知從動構件系統運動學尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規律，以及許用壓力角、滾子中心在連桿上具體位置等條件，求解凸輪軸心容許選擇區域、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

（2）Ⅱ類尺寸綜合問題。已知從動構件系統運動學尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規律，以及許用壓力角、凸輪軸心位置和滾子中心位居連桿某一方位線等條件，求解滾子中心容許選擇區段、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

筆者通過建立坐標系、劃分推程區段和引入“浮動數軸”、“瞬時/整程區間套”等新概念，圓滿解決了浮動滾子推桿盤形凸輪機構的狹義Ⅱ類尺寸綜合問題。

德國海德堡高速印刷機中的浮動滾子推桿盤形凸輪機構見圖1，該機構由凸輪1、連桿2、搖塊3、滾子4（鉸接于連桿上）、搖桿5和機架0組成。原動件（凸輪1）通過滾子4和連桿2，驅動輸出件（搖桿5）在推程起始、終止位置（O20A、O2mA）間實現預期運動輸出。

圖1 浮動滾子推桿盤形凸輪機構的原始形態及演化形態Fig.1 Original/evolutionary form of a disk cam mechanism with a floating roller

2012年，隨著對海德堡高速印刷機機構消化吸收的深入，通過“釋放”滾子中心，即在連桿平面上任意選取滾子中心位置，筆者提出了更具一般性的浮動滾子推桿盤形凸輪機構問題［2］。通過引入“浮動坐標系”、“瞬時/整程區域套”和“最經濟搜索帶域”等概念，圓滿解決了浮動滾子推桿盤形凸輪機構的廣義Ⅱ類尺寸綜合問題，即:已知從動構件系統運動學尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規律，以及許用壓力角、滾子中心位居連桿平面和凸輪軸心位置等條件，求解滾子中心容許選擇區域、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

德國海德堡高速印刷機中的浮動滾子推桿盤形凸輪機構具有以下顯著結構特征：①凸輪1、搖塊3與機架0構成復合鉸鏈O1（O3），即凸輪和搖塊軸心O1、O3重合；②滾子中心C位于連桿方位線O2O3上。

2010年筆者嚴格恪守“顯著結構特征”①和②，相應提出的尺寸綜合方法屬于純粹性“消化吸收”［1］。2012年筆者更改了“顯著結構特征”②，釋放滾子中心C于連桿平面Σ2上，屬于實質性“改進創新”［2］。

由于部件、元器件和線路的調整變更和重新布置等，機構“周邊環境”發生了復雜顯著變化，機構與環境發生“肢體沖突”的概率陡然增加。

若采用筆者2012年提出的廣義Ⅱ類綜合方法［2］，無論凸輪順時針還是逆時針轉動，皆無法避免凸輪和（或）滾子與部件、元器件及線路發生碰撞干涉，解得的尺寸不成立，廣義Ⅱ類綜合方法“失效”。采用筆者2010年提出的狹義Ⅱ類綜合方法［1］則更有過之。

上述嘗試求解表明：采用廣義、狹義Ⅱ類尺寸綜合方法［1?2］難以適應變化了的“周邊環境”，無法取得成功避障的機構尺寸解。部件、元器件和線路的調整變更和重新規劃布置等，占據了“解機構”的運動空間，對機構運動著實構成了“障礙”。

“避障和緊湊”已有諸多研究成果［1?9］，基于“雙釋放（釋放滾子中心和凸輪軸心）的基本思想（見圖1中演化構型（虛線）的凸輪軸心O1（x，y）、滾子中心C（u，v）），根據Ⅰ類尺寸綜合方法［3］，筆者分析推理得到最優凸輪軸心O**1是“整程避障成功”的最適任解，給出障礙集{Di}、許用邊界{?Di}基礎性的概念，提出滾子、凸輪“整程避障成功”解析判據以及“簡約搜索區域求解凸輪軸心O1、滾子中心C解區域的遍歷搜索方法，提出“機構緊湊尺寸解”求解方法，以解決面向避障和緊湊的浮動滾子推桿盤形凸輪機構尺寸綜合問題。

需要指出的是：部件、元器件和線路的調整變更和重新布置等，已保證不占據從動構件系統運動空間——不構成障礙。本文的核心和關鍵是探索解決“凸輪和滾子”的成功避障問題。

2 面向避障和緊湊的浮動滾子推桿盤形凸輪機構尺寸綜合問題的準確描述

面向避障的機構尺寸綜合問題的準確描述如下。已知：①障礙集。障礙集D1～Dn的形態特征，相對從動件系統的位置分布；②從動件系統。機架長度 l0，搖桿長度 l5，搖桿初位角 θ50、行程角 βm，推程、回程運動角Ф0和Ф’0，推程、回程運動規律，滾子半經rr，推程許用壓力角［α1］，凸輪轉動方向。求解：“整程避障成功”凸輪軸心O1、滾子中心C的解區域；機構緊湊尺寸解。

3 理論基礎和重要推證結論

3.1“固定坐標系Oxy”和“浮動坐標系O2uv”的概念

基于海德堡高速印刷機機構的浮動滾子推桿盤形凸輪機構的原始構型、演化構型見圖1。兩種構型的凸輪和滾子分別用點畫線、虛線描述表達。

固定坐標系Oxy指固連于機架平面Σ0上，以O為原點、O→x為x軸正向、O→y為y軸正向的直角坐標系。浮動坐標系O2uv指固連于連桿平面Σ2上，以O2為原點、O2→u為u軸正向、O2→v為v軸正向的直角坐標系。

3.2 滾子中心由C（uC，vC）→（xC，yC）的坐標變換

滾子位于連桿平面Σ2上，（uC,vC）為滾子中心C的浮動坐標系坐標。本文研究避障問題，需求解滾子中心C的固定坐標系坐標（xC,yC）。可據坐標變換公式

解得xC和yC。上式是后文的求解計算基礎。據上式，有

式中，s2m、θ2m分別為推程終止位置的連桿長度、連桿位置角。

3.3 機構Ⅰ類尺寸綜合問題的重要結論［4］

3.3.1 整程區域套Γ*(x,y)和整程邊界Γ*(x,y)

若在連桿平面Σ2上給定某一滾子中心C，即對應存在凸輪軸心O1的解域——整程區域套Γ*（x，y），則對應邊界為整程邊界?Γ*（x，y），見圖 2［3］。

3.3.2 最優凸輪軸心O**1及其性質［3］

整程區域套 Γ*（x，y）呈半封閉、類角形的形態特征［3］。給定滾子中心C，存在最優凸輪軸心角點O**1，即取得凸輪最小基圓半徑r0min，見圖2。

3.4 凸輪工作輪廓最大向徑rmax

據圖2推知

式中，rr為滾子半徑；xO1、yO1分別為凸輪軸心O1的x、y坐標（據Ⅰ類尺寸綜合方法解得），xCm、yCm

為推程終止位置滾子中心Cm的x、y坐標（據式（1）解得）。

3.5 最優凸輪軸心O**1內涵重要拓展引申

3.5.1 凸輪整周轉動的最小占據區域

對應Σ2上同一滾子中心C，凸輪軸心分別取四點，繪出凸輪整周轉動占據的4個圓形區域，見圖2。顯見，凸輪軸心取點的占據區域最小。前述為圓心、小半徑劃弧，與?Γ*(x,y)截得的交點和中點。

3.5.2 “整程避障成功”的凸輪軸心最適任解

整程區域套 Γ*（x，y）除外的邊界點和內點，皆因在避障和尺寸方面居于劣勢，故不予考慮。

4 “整程避障成功”的滾子和凸輪的解析判據

4.1 障礙集{Di}的靜占區域、滾子和凸輪的動占區域

4.1.1 障礙集{Di}的靜占區域

Σ0上的障礙集{Di}及其許用邊界{?Di}（i=1，2，…，n）見圖3。

圖3 障礙集{Di}及其許用邊界{?Di}Fig.3 Obstacle set{Di}and its allowable boundary{?Di}

任一障礙Di的靜占區域為

應指出，許用邊界?Di是障礙Di真實邊界的外等距曲線，而此“等距”一般取5～8 mm。為使圖簡約清晰，真實邊界未畫。后文中各圖皆為許用邊界{?Di}。

4.1.2 滾子和凸輪的瞬時/整程動占區域Droll/{Droll}和Dcam/{Dcam}

滾子瞬時動占區域Droll指任一瞬時以滾子中心C為圓心、滾子半徑rr為半徑的圓形區域。

滾子整程動占區域{Droll}指所有瞬時以滾子中心C為圓心、滾子半徑rr為半徑的圓形區域的并集。

凸輪瞬時動占區域Dcam指任一瞬時以凸輪工作輪廓為整體邊界的盤形區域。

凸輪整程動占區域{Dcam}指以凸輪軸心O1為圓心、凸輪工作輪廓最大向徑rmax（圖2）為半徑的圓形區域。

不難理解，{Droll}和{Dcam}是由無數個瞬時Droll和Dcam構成的無限序列。

4.2 滾子瞬時/整程避障成功的位置特征與解析判據

4.2.1 滾子瞬時/整程避障成功的位置特征

瞬時避障成功的位置特征就是Droll與{Di}相離，即

整程避障成功的位置特征就是{Droll}與{Di}相離，即

4.2.2 滾子瞬時/整程避障成功的解析判據

瞬時避障成功的解析判據如下：

式中，xC、yC、dminC分別為任一瞬時 C 的 x、y坐標和至{?Di}最小距離；diminC為任一瞬時 C 至?Di的最小距離。

整程避障成功的解析判據如下：

式中，x{C}、y{C}、dmin{C}分別為整程所有瞬時C的x、y坐標和至{?Di}最小距離。

x{C}=x{C}(θ1)和 y{C}=y{C}(θ1)是 θ1的一元函數。據式（8）對θ1進行等距-離散化，例如取°，參見后文示例。

式（8）包括兩層含義：①滿足所有障礙{Di}；②滿足所有瞬時θ1∈［0，360°］。

因為障礙集{Di}的非時變性以及推程、回程滾子中心C的軌跡重合，據式（8）推知，滿足推程 θ1∈［0，Φ0］即滿足整程 θ1∈［0，360°］，Φ0為推程運動角。

4.3 凸輪整程避障成功的位置特征與解析判據

4.3.1 凸輪瞬時/整程避障成功的位置特征

瞬時避障成功的位置特征就是Dcam與{Di}相離，即

整程避障成功的位置特征就是{Dcam}與{Di}相離，即

4.3.2 凸輪整程避障成功的解析判據

凸輪整程避障成功的解析判據如下：

式中，xO1、yO1、dminO1分別為O1的 x、y坐標和至{?Di}的最小距離。

后文中“避障成功”皆指整程避障成功。

5 避障成功滾子中心C、凸輪軸心O1解區域的遍歷搜索求解

遍歷搜索求解的策略、路線和方法步驟如下。

（1）選定簡約搜索區域Σ[2]。如圖4所示，選定簡約搜索區域

圖4 簡約搜索區域Σ[2]和Σ[0]的離散-網格化Fig.4 Simplified search areaΣ[2]andΣ[0]

（2）Σ[2]的離散-網格化。對Σ[2]沿u、v方向離散-網格化（圖4）：

任一網格節點C（up，vq），有

（4）選定簡約搜索區域Σ[0]。選定簡約搜索區域Σ[0]（圖4）：

式中，yP20f、yP20r分別為往程前半、后半區段絕對瞬心P20的y坐標。

圖5 滾子中心C的過程、結果解區域和Fig.5 The process and result solution region of the roll center C and

（5）Σ[0]的離散-網格化。如圖4所示，對Σ[0]沿x、y方向離散-網格化：

任一網格節點O1（xj，yk），有

式（15）和式（22）的Δ等同，取決于指數m，據精度要求而定。

（6）滾子避障成功、凸輪軸心位于Σ[0]內的過程解區域 Σcam[0]Σ。對圖5的過程解區域 Σroll[2]Σ，遍歷取滾子中心C的節點（up，vq）為滾子中心C，根據Ⅰ類尺寸綜合方法［3?4］解得對應凸輪軸心“角點”，該角點位于Σ[0]內，標淺色。

遍歷取 Σroll[2]Σ上各滾子中心節點，圖6中生成得到淺色過程解區域，記為Σcam[0]Σ。

圖6 凸輪軸心O1的過程、結果解區域Σcam[0]Σ和 Σcam[0]ΣΣ Fig.6 The process and result solution region of the cam axis O1 Σcam[0]Σ and Σcam[0]ΣΣ

（7）滾子避障成功、凸輪軸心位于Σ[0]內的過程解區反轉過來，將與圖對應的圖5節點(up,vq)標記淺色，生成得到淺色過程解區域，記為Σroll[2]Σ。

（8）滾子和凸輪避障成功凸輪軸心O1的結果解區域 Σcam[0]ΣΣ。對圖6淺色過程解區域 Σcam[0]Σ，遍歷取凸輪軸心O1的節點(xj,yk)，即凸輪軸心O1，檢驗校核是否滿足式（12）。若滿足式（12），標深色；反之，仍標淺色。

遍歷取 Σcam[0]Σ，得到深色結果解區域，記為

（9）滾子和凸輪避障成功滾子中心C的結果解區域 Σroll[2]ΣΣ。反過來，將與圖6對應的圖5節點(up,vq)標深色，得到深色結果解區域，記為

圖5～圖7的繪制生成，皆基于后文示例已知條件數據。

圖7 機構緊湊尺寸解（C、O1）的求解Fig.7 Solution of compact size solution（C、O1）

6 機構緊湊尺寸解（滾子中心C、凸輪軸心O1）的求解

根據“最優解常出現在邊界”的知識經驗（圖7），確定最優解步驟如下。

（1）沿解區域Σroll[2]ΣΣ的下側（靠近連桿側）、右側邊界和沿逆時針方向，順次選取滾子中心C的離散點1～5；

（2）對應得到分布于解區域Σcam[0]ΣΣ的下側（靠近連桿側）、右側邊界上，也是沿逆時針方向的5個離散點1′、2′、3′、4′、5′，即凸輪軸心O1；

（3）據滾子中心C、凸輪軸心O1的5種組合（1，1′）～（5，5′），據式（2）計算繪出對應的凸輪整程動占區域{Dcam}，即圖7a、7b中的5個圓。

分析圖7，得到以下重要結論：

（1）無論凸輪順時針還是逆時針轉動，滾子中心C 位于解區域 Σroll[2]ΣΣ的角點3時，凸輪軸心O1也位于解區域 Σcam[0]ΣΣ的角點3′；

（2）凸輪軸心O1取在角點3′，凸輪整程動占區域{Dcam}最小，見圖7a、7b中的粗實線圓。

由圖7不難看出：凸輪軸心O1取在角點3′，粗實線{Dcam}最充分嵌入、利用了從動件系統和障礙集已占據空間，對環境空間的額外索取達到最小，即最緊湊。

7 機構綜合示例

圖1中，機架長度l0=140 mm，搖桿長度l5=50 mm，搖桿初位角θ50=140°，行程角 βm=80°，推程選用擺線運動規律，推程運動角Ф0=150°，滾子半經rr=6 mm，許用壓力角［α1］=40°，3個障礙靜占區域 D1～D3（許用邊界?D1～?D3數據描述從略），求解：①滾子和凸輪整程避障成功的結果解；②機構緊湊尺寸解。

求解過程如下。

（2）機構緊湊尺寸解。①凸輪順時針轉動。據第6節和Ⅰ類尺寸綜合方法［3］，機構緊湊尺寸解為：滾子中心 C（65.20，25.83），凸輪軸心 O1（22.49，16.02），見圖 7a。據式（1）解 得 xCm=95.31 mm，yCm=29.14 mm，據式（2）解得 rmax=75.16 mm。②凸輪逆時針轉動。步驟同上，機構緊湊尺寸解為：滾子中心C（70.67，4.07），凸輪軸心O1（6.39，19.59），見圖7b。據式（1）解得 xCm=95.31 mm，yCm=29.14 mm，據式（2）解得 rmax=83.74 mm。

對比求解上面的計算結果后可知，較之凸輪逆時針轉動，凸輪順時針轉動的尺寸更緊湊、更具優越性。