基于粗糙Choquet 積分的產品服務系統設計方案優選

邱華清 耿秀麗 徐軼才

上海理工大學管理學院，上海，200093

0 引言

目前，我國制造業發展面臨著環境污染、能源利用率低以及國際競爭力弱等多方面的問題。為提高企業可持續發展能力，不再僅將服務作為產品的附屬要素，而是通過產品和服務的有機融合在產品生命周期內實現價值增值并搶占市場空間，產品服務系統（product?service system，PSS）受到越來越多的關注。在概念設計階段，由于PSS配置優化的多目標性、客戶需求的模糊性以及設計工程師對需求理解的不一致性等問題，通常會導致多個可行性方案的形成。如何對PSS設計方案進行合理優選，關系到方案的后續執行以及對顧客需求把握的正確性。PSS方案評價是一種典型的多屬性決策問題，應用常見的多屬性決策方法時，如逼近理想解排序法（technique for or?der preference by similarity to ideal solution，TOPSIS）［1?2］、多準則妥協解排序法（VIKOR）［3］、層次分析法（analytic hierarchy process，AHP）和復雜比例評價法［4］等往往忽視了評價指標間存在關聯關系的復雜情況，降低了決策結果的準確性。

滿足顧客需求是PSS的典型特點，把顧客需求作為評價指標能夠將顧客的想法考慮到方案評價過程中，有利于優選出顧客滿意的方案。但是顧客需求提出時具有不確定性且并未考慮需求間的關聯關系，即可能存在包含、沖突等關系。以顧客需求作為評價指標進行PSS方案評價時，指標間的復雜關系會對方案的選擇產生影響。例如，評價一款轎車設計方案的好壞通常會考慮到成本、能耗和服務支持等方面。一般來說，能耗低的車輛成本較高；服務支持內容多的車輛則需要軟件硬件系統實時監測，其能耗就較高。在該PSS方案評價過程中，通常較高的指標評價值會對較低的指標評價值起到補償作用，共同影響最終的評價結果。為增加決策結果的準確性，指標間的相互影響關系不容忽視。常用網絡分析法（analytic network process，ANP）和決策試驗與實驗評估法（decision making trial and evalua?tion laboratory，DEMATEL）可以對因素間的關系進行分析。兩種方法都是先通過專家主觀評價法建立指標間的關聯關系矩陣，然后進行矩陣運算得出指標權重或指標間的最終關系矩陣。一方面專家多次主觀判斷易產生不一致性；另一方面這兩種方法對分析存在關聯關系的指標權重確定問題有優勢，而對指標間存在關聯關系的方案評價問題有一定局限。ANP法和DEMA?TEL法不能很好地將指標間的關聯關系反映到方案評價值的集結過程中。模糊測度用約束條件較弱的單調性和連續性取代了經典概率中的可加性剛性約束，能夠很好地描述指標間的任意交互作用［5］。基于模糊測度的Choquet積分算子用來進行人的主觀評價和主觀行為分析，是分析屬性關聯行為的有力工具［6］。本文采用Choquet積分算子對方案評價值進行集結，將指標間的關聯關系反映到方案評價過程中，對PSS設計方案進行優選。

在不確定性信息處理方面，模糊集理論常應用于多屬性決策問題。例如，文獻［7］提出了一種模糊隨機環境下基于信息公理的PSS方案評價方法，通過計算各方案的信息量進行方案排序。文獻［8］從用戶的視角出發，采用質量功能展開（quality function deploy，QFD）法計算評價指標權重，然后將直覺模糊數與TOPSIS相結合對方案進行評價。文獻［9］將線性規劃和TOP?SIS結合，對猶豫模糊環境下的多屬性決策問題進行求解。模糊集的應用雖然在一定程度上描述了決策過程中的不確定性，但模糊集通常需要設置隸屬度函數，隸屬度函數的確定則存在一定的主觀性和隨機性；此外，模糊評價方法也不能很好地體現決策者的經驗、知識等對決策不確定性的影響［10］。粗糙集理論是一種新的處理模糊和不確定性信息的數學理論。與模糊數相比，粗糙數不需要外部信息，且不需要隸屬度函數、效用函數等先驗信息，較大程度地保持了信息的客觀性。不同于單一的產品設計方案多為定量評價指標，顧客需求的模糊性使其作為PSS方案評價指標時，包含大量的定性評價信息。本文需要將粗糙數和Choquet積分相結合，通過粗糙數的下限、上限表達評價過程中的不確定性信息，且考慮指標間的關聯關系對方案評價的影響進行評價值的集結。

Choquet積分算子已擴展到二元語義、區間二元語義、猶豫模糊數和區間灰數等決策環境，Cho?quet積分與粗糙數結合較為鮮見。例如，文獻［11］定義了二元語義Choquet積分集結算子，并將其應用于多屬性決策問題中。文獻［12］基于Cho?quet積分研究了評價值為區間二元語義且評價指標間存在關聯關系的多屬性群決策問題。文獻［13］定義了區間直覺猶豫模糊Choquet積分算子，基于Choquet積分與TOPSIS相結合的方法解決了多屬性群決策問題。文獻［14］針對評價值為區間灰數的情況，定義了區間灰數Choquet積分集結算子，并將其與灰靶決策方法相結合應用于多屬性群決策問題。

本文采用粗糙集處理專家評價值，通過粗糙數表達決策不確定性信息；針對評價指標間的關聯關系，將粗糙數與Choquet積分相結合并對各方案的評價值進行集結；最后以某PSS方案評價實例來驗證所提方法的有效性。

1 理論基礎

1.1 粗糙數

粗糙數采用區間數的形式表達不確定性信息，以目標集合的下近似和上近似描述模糊信息。利用專家給出的指標評價數據確定粗糙數的下限和上限而不需要數據的分析調整，有利于決策結果的準確性和客觀性。

定義1［15］假設論域U分為n類，表示為R={C1，C2，…，Cn}。如果存在序關系 C1＜C2＜…＜Cn，則?Ci∈ R，i=1，2，…，n。Ci的下近似域、上近似域分別為

Ci的邊界區域定義為

Ci的粗糙數的下限、上限分別為

其中，ML和MU分別表示Ci的下近似域、上近似域中對象的數量。則Ci的粗糙數Rmm表示為

粗糙數本質上是區間數，其運算規則與區間數的運算規則相同。設為兩個粗糙數，常數 k＞0，則2個區間數比較的可能度公式以及基本運算如下［16］：

1.2 模糊測度和Choquet積分

若λ=0即μ(A?B)=μ(A)+μ(B)，則μ為X上的可加測度，表示屬性集合A與B間無相互關聯關系，A與B是相互獨立的；若λ＜0即μ(A?B)＜μ(A)+μ(B)，則μ為X上的次可加測度，表示屬性集合A與B間有替代作用，A與B間存在信息冗余；若λ＞0即μ(A?B)＞μ(A)+μ(B)，則μ為X上的超可加測度，表示屬性集合A與B間有相乘作用，A與B間存在信息互補。

利用λ?模糊測度可以表達多屬性群決策問題中屬性間的關聯關系，其中屬性集即為定義2中的非空集合X，各屬性的重要度即為集合X的模糊測度。若有限集合 X={x1，x2，…，xn}，?i,j=則λ?模糊測度μ滿足：

由邊際條件 μ(X)=1，根據式（11）和式（12），可由以下方程確定唯一的參數λ：

定義3［18］若f為定義在X上的非負函數，μ為定義在X上的模糊測度，則f關于模糊測度μ的離散Choquet積分如下：

2 基于粗糙Choquet積分的PSS方案優選過程

2.1 PSS方案優選框架

PSS設計方案的目標是最大程度地滿足顧客需求，通過產品和服務的相互配合獲得顧客的最佳使用價值和體驗。以顧客需求項作為方案的評價指標，將顧客需求反映到方案評價過程中，可以更好地衡量設計方案滿足顧客需求的程度，從而實現PSS設計方案的有效優選。

顧客需求的模糊性和復雜性導致其內部具有交互關系，將顧客需求作為PSS方案評價指標時，需要考慮到指標間的關聯關系。模糊測度較好地描述了各指標的相互作用現象，并通過Choquet積分對各方案評價值進行集結，較好地考慮了指標間的關聯關系對方案評價結果的影響。針對方案評價過程中的不確定信息，采用粗糙數處理專家評價信息，使評價結果更加客觀。本文將粗糙數與Choquet積分相結合，解決了決策過程中的模糊性問題以及評價指標間的關聯關系問題，以提高決策結果的科學性、合理性。本文所提基于粗糙Choquet積分的PSS設計方案優選框架見圖1。

圖1 基于粗糙Choquet積分的PSS設計方案優選框架Fig.1 Optimization frame of PSS concept based on rough Choquet integral

2.2 PSS方案優選步驟

假設需要評價的方案為Pi（i=1，2，…，m），評價指標為Cj（j=1，2，…，n），專家Ek（k=1，2，…，t）對每個方案在各指標下的滿足程度進行評價，基于粗糙Choquet積分的PSS設計方案評價過程如下所示。

（1）確定PSS方案評價矩陣。k個專家采用{1，3，5，7，9}標度對m個方案相對于n個指標的滿足程度進行評價，其中1，3，5，7，9分別表示“非常不滿意”，“不滿意”，“一般”，“滿意”，“非常滿意”。令表示第k個專家對第i個方案相對于第k個指標的評價值，則專家Ek的評價矩陣Ak=

（2）確定PSS方案粗糙評價矩陣。根據式（1）～式（6）將決策矩陣Ak中的確定數值轉化為粗糙數形式，粗糙數反映了專家評價信息的不確定性。假設專家Ek的粗糙評價矩陣為=，根據式（8）和式（9），采用算術平均法集結專家評價信息，集結后的粗糙群決策矩

（4）將顧客需求重要度作為評價指標的模糊測度，根據式（13）確定參數λ的值。根據式（11）～式（12）計算評價指標各屬性集A的λ?模糊測度，則?A∈C，C={Ci|i=1,2,…,n}，屬性集A的λ?模糊測度計算公式如下：

其中，下標（·）表示方案Pi在評價指標Cj下的粗糙評 價 值在屬性集合A上的排序，且，且A(j+1)=0。

（6）依據各方案的集結結果~ri，根據式（7）和式（10）對方案進行排序，其中~ri值越大表明方案越優。

3 案例分析

3.1 某打印機PSS方案評價

某公司自成立以來始終秉持“共生”的企業理念，在美洲、歐洲、亞洲等區域均設立總部，形成了全球化與本土化有機結合的經營體制。該公司事業以光學技術為核心，涵蓋了辦公用品、影像系統產品以及產業設備等諸多領域。目前，該公司為推動其特色打印機的發展并進一步打入全球市場，提高產品競爭力以獲得可持續發展，欲對其某特色商用打印機PSS研發過程中確定的多個可行性方案進行評價和選擇，從而集中各方資源保證PSS方案的有效實施。經PSS方案多目標配置優化后共生成{P1，P2，P3，P4，P5}5個方案，5個備選方案屬性規格描述見表1；專家小組共3位專家，其中包括產品設計工程師、市場營銷工程師、客戶研究工程師；根據設計初期確定的顧客需求項目，經專家組討論后確定了6項主要顧客需求作為PSS方案評價的評價指標C={C1：打印清晰度，C2：打印速度，C3：噪聲，C4：功能豐富性，C5：耐用性，C6：能耗}，采用文獻［21］中顧客需求重要度的確定方法計算其權重依次為：0.43，0.31，0.25，0.39，0.27，0.35。采用所提粗糙Choquet積分方法對5個方案進行評價，評價過程見表1。

表1 備選方案集屬性規格Tab.1 Attribute specifications of alternatives

（1）確定PSS方案評價矩陣。3位專家采用{1，3，5，7，9}標度對各方案相對于每個指標的滿足程度進行評價，評價結果見表2。

表2 備選方案的專家評價值Tab.2 Experts’evaluation values of alternatives

（2）確定PSS方案粗糙評價矩陣。以表2中方案P1相對于指標C1的評價值3為例，將表2中的專家評價值轉化為粗糙數的過程如下：根據式（1）～式（6），計算數值3的下近似和上近似為

所以，粗糙數Rmm（3）=［3，3.67］，同理，Rmm（5）=［5，5］。根據式（8）和式（9）采用算術平均法計算方案P1相對于指標C1的各專家的群決策值為

采用同樣的方法得出PSS方案粗糙評價值見表3。

（3）粗糙群決策值規范化處理。根據式（18）和式（19）計算5個方案的歸一化粗糙決策矩陣見表4。

（4）根據評價指標Ci（i=1，2，3，4，5，6）的重要度：0.43，0.31，0.25，0.39，0.27，0.35，采用式（13）計算得出λ=-0.87，根據式（20）計算各屬性集的λ?模糊測度。以計算屬性集C={C1，C2}的模糊測度為例，模糊測度

表3 備選方案的粗糙評價值Tab.3 Experts’rough evaluation values of alternatives

表4 備選方案的粗糙規范化矩陣Tab.4 Rough normalization matrix of alternatives

采用同樣的方法可計算其他屬性集的模糊測度見表5。

表5 屬性集的模糊測度Tab.5 Fuzzy measures of attribute sets

（5）對各方案的粗糙評價值進行Choquet積分。以方案P1為例，根據式（7）計算表4中方案P1粗糙評價值的可能度矩陣P=[pij]6×6為

然后采用式（10）得出方案P1在指標C1下評價值的排序向量為

同理計算得出方案P1在其他指標下評價值的排序向量依次為：0.193，0.112，0.205，0.091，0.232，由此得

采用同樣的方法，計算得出其他方案的Cho?quet積分結果分別為

（6）方案排序。采用式（7）和式（10）計算各方案集結結果（i=1，2，…，5）的排序向量為：0.191，0.155，0.189，0.230，0.233。根據排序向量得出各方案的排序為

3.2 比較和分析

為對比所提方法的有效性，采用不同方法對方案進行評價。其中，M0表示所提方法得出的方案評價結果；M1表示采用傳統Choquet積分對表2中的方案評價值進行集結得出的方案評價結果；M2表示采用粗糙TOPSIS得出的方案評價結果，M3表示采用ANP計算指標權重得出的方案評價結果，計算結果見圖2。

由圖2可知，4種方法的排序結果并不一致。為優選出滿足顧客需求的PSS設計方案，所提方法以顧客需求作為評價指標進行PSS方案評價。考慮到顧客需求間的關聯關系會對方案評價結果產生一定的影響，采用模糊測度表達指標間的相互關系；針對專家主觀評價過程的模糊性，采用粗糙數處理方案評價信息；最后采用基于模糊測度的Choquet積分算子將指標間的交互關系反映到方案評價值的集結過程中，進行方案優選。

圖2 4種方法評價結果對比Fig.2 Comparison of four methods’evaluation results

M0（所提方法）與M1（傳統Choquet積分集成）相比，M0的排序結果是P2＜P3＜P1＜P4＜P5，M1的排序結果是P3＜P2＜P4＜P5＜P1。2種方法排序結果不一致的主要原因是所提方法考慮到了專家評價信息的模糊性和不確定性。例如，針對方案P1，3位專家在6個指標下的粗糙群決策值為：［3.67，4.12］，［4.00，6.00］，［7.22，8.11］，［4.00，6.00］，［1.22，2.11］，［2.00，4.00］，而算術平均法計算得出的專家群決策值為：3.67，5，7.67，5，1.67，3。傳統Choquet積分方法通過算數平均法對專家評價信息進行集結，忽視了信息的模糊性，導致方案評價結果存在偏差。而所提方法通過粗糙數對評價信息進行處理，通過區間的下限、上限表達信息的不確定性，其決策結果更符合客觀事實。

M0（所提方法）與 M2（粗糙 TOPSIS）相比，M2的排序結果是P4＜P3＜P2＜P5＜P1，這2種方法排序結果不一致的主要原因是M2忽視了評價指標間的關聯關系。粗糙TOPSIS考慮到評價過程的模糊性和不確定性，通過比較各方案與理想方案的貼進度進行方案排序，而TOPSIS在定義決策問題的最優、劣解時未考慮到指標間的關聯關系。實際決策過程中，評價指標間往往存在替代關系、互補關系等，這些關聯關系的存在會在一定程度上影響評價結果的正確性。所提方法中Choquet積分算子通過λ?模糊測度反應指標間的相互關系，提高了方案評價結果的準確性。

M0（所提方法）與M3（ANP）相比，M3的排序結果是P3＜P2＜P1＜P5＜P4，與M0的排序結果也存在一定偏差。ANP在計算指標權重時也考慮到了指標間的相互影響關系，而在建立兩兩比較矩陣過程中需要專家進行多次評價，定性成分較多，容易產生不一致性現象，計算結果誤差較大。Choquet積分算子不需要專家主觀判斷各指標間的關聯關系，其λ?模糊測度是根據其初始重要度計算得出，定量計算的結果更為客觀。

4 結語

（1）在評價信息的處理過程中，充分考慮了信息的不確定性和模糊性，采用粗糙集的方法將評價值轉化為粗糙數形式，提高了決策結果的客觀性和準確性。

（2）為優選出最大程度滿足顧客需求的PSS設計方案，采用顧客需求作為方案評價指標。一方面顧客需求在設計初期已經獲取，作為評價指標可減輕工作量；另一方面以顧客需求作為方案評價的依據與PSS的基本思想和最終目標相一致。

（3）考慮到各指標并不是相互獨立的，通過模糊測度表達指標間復雜的相互關聯關系，采用Choquet積分得出方案優選結果。不同于ANP法和DEMATEL法，Choquet積分通過分析指標間的關聯關系并進一步確定指標權重。Choquet積分算子基于指標間的關聯關系完成方案評價值的集結，更為直觀地反映出指標間的關聯關系對最終方案評價結果的影響。

（4）所提方法已應用于某企業打印機PSS設計方案的評價，通過實例驗證了所提方法的可行性；同時，所提方法考慮到決策過程的不確定性和評價指標間的關聯關系，有效提高了PSS設計方案評價的準確性。