《普通化學》計算題中的自然對數運算問題

崔文輝,聶龍英，陳 強

(隴南師范高等專科學校農林技術學院，甘肅 成縣 742500)

在大學《普通化學》課的實際教學中我們發現，對于化學熱力學、化學動力學、水化學和電化學等部分的計算題，按照相關的化學理論推演到最后一步，涉及到的相當于求ln x的對數計算問題，學生往往因為數學基礎問題而導致計算“卡殼”，無法得到結果或計算結果出錯。如：熱力學等溫式等式[1]：

化學動力學中的阿累尼烏斯公式：

電化學中，對于電池反應:aA(aq)+bB(aq)=gG(aq)+dD(aq)。

的電池電動勢能斯特方程:

對于電極反應為a(氧化態) + ne-=b(還原態)的電極電勢的能斯特方程：

1 中學數學教材中的對數概念及計算類型

經仔細統計，在現行的高一數學教材"對數函數"一節中出現的題型有如下類型：

(1)指數與對數互化(26小題)；

(2)用logax、logay、lgx、lgy、lgz等表示下列各式(6小題)；

(3)比較兩個數值大小(11小題)；

(4)求函數定義域(9小題)；

(5)用對數的換底公式化簡(3小題)；

(6)用對數的換底公式證明(1小題)；

(7)各種計算和求x值(46小題)；

(8)畫出對數函數的圖象(2小題)。

在這8類37個對數問題中，我們得到了這樣的信息：

(1)大多數計算題無需查表和使用計算器，只利用對數性質進行技巧性計算，即可得到特殊的結果；

(2)沒有查反對數表的題；

(3)沒有求自然對數和其反函數的值的示例題；

(4)沒有自然對數和常用對數互化的示例題；

(6)關于自然對數及其反函數的計算的問題只有1個，卻是以習題形式呈現的。

2 自然對數與其反函數指數函數(ex)的計算

正如物質的量及其單位-摩爾，本身是一個物理量，似乎應在物理學中專門講授，但由于其在化學中應用的更多，所以，這部分知識被安排在中學化學教材中介紹的道理一樣，既然《普通化學》、《無機化學》、《物理化學》等教材中也都有關于自然對數與其反對數-指數函數(ex)的計算問題，而且在早期出版的一些《物理化學》教材的后面附有對數表和逆對數表[3],就是為方便計算設計的。鑒于學生的中學對數基礎知識技能中缺少對自然對數的運用，我們應在《普通化學》等相關課程上拓展學生的對數知識，尤其是對學生使用《對數表》和科學計算器計算有關自然對數和反函數的求值計算能力進行專項訓練。

2.1 查數學用表

在《中學數學用表》中[4],有《常用對數表》、《反對數表》、《指數函數ex表》和《指數函數e-x表》等，就是沒有《自然對數表》，自然對數的求值必須借助對數的換底公式將其轉化為常用對數后再求值，即：lnx=2.303lgx。

推導過程如下：

lnx=logex，用換底公式，得：

例1：對于列計算式[1]64，查表求ln219=？

解：利用關系式lnx=2.303lgx，轉化成求常用對數值：ln219=2.303lg219。由于常用對數表只能查真數在1～9.99范圍的值，超越這個范圍的其他數字要用科學計數法處理，219=2.19×102，查表得，lg2.19=0.3404，ln219=2.303lg219=2.303×lg(2.19×102)=2.303×(lg2.19+2)=2.303×(0.340+2)=2.303×2.340=5.389。

所以，學生只要學會查《常用對數表》即可計算自然對數lnx的值。

例2：有關阿侖尼烏斯公式求反應速率的計算題[1]73

此題相當于已知：lnx=1.051,查表求x=? 解： lnx=1.051，則x=e1.051≈e1.1=3.004。

指數函數ex實際上是自然對數lnx的反函數，中學數學用表中有《指數函數ex表》，表中x的取值范圍分別在0.001～10.9之間,此題可直接在指數函數ex表中查e1.1的值[4]，得x=3.004，計算結果兩者非常接近。

例3：超出《指數函數ex表》范圍的計算題型[1]77

此題相當于已知：lnx=43.57,查表求x=?

解：lnx=43.57,x=e43.57=e43×e0.57=(e4.3)10×e0.57=(73.70)10×1.7683=4.7279×1018×1.7683=8.3605×1018。

對于超出《指數函數ex表》中x的取值范圍(0.001～10.9)的數值,可利用指數函數的性質進行合理變換后再查表求值。

例4：有關范特霍夫等壓方程式的計算[1]67

上述計算結果相當于，已知：lnx=-21.4,查表求X=?

解：lnx=-21.4,x=e-21.4=e-22×e0.6=(e-2.2)10×e0.6=0.110810×1.8221=(2.7887×10-10)×1.8221=5.08×10-10

此題屬于lnx的值是負值情況下的計算題型，相當于求e-x的值。可查中學數學用表中的《指數函數e-x表》，表中x的取值范圍分別在0.001～9.9之間,對于超出這個范圍的數值,也需要變換后再查表求值。

2.2 利用科學計算器求lnx、ex、e-x的值

例1求ln219=？

ON/C→ln→2→1→9→=→5.38;

例2：lnx=1.051,求x=?

例3：lnx=43.57,求x=?

例4：lnX=-21.4,求x=?

此題相當于求e-x的值。利用指數運算性質，e-x=1/ex,

從查數學用表和使用計算器兩種方法求自然對數的值過程來看，計算器功能十分強大，操作簡便結果準確，且速度快。

3 小結

本文討論的是一個幾乎沒有難度的中學初等數學問題，本應不該成為“問題”，但實際上學生對這部分知識的應用真是普遍存在著既不會查對數表，也不會使用計算器的問題。從高中數學教材的相關章節內容的編排可以找到答案，中學階段沒有介紹自然對數及其反函數的運算前提下，僅靠中學這一點數學知識還不足以解決大學化學計算問題。同時，大學化學計算中涉及到的諸如對數計算問題，也不能簡單的省略計算過程，要專門介紹計算的方法和技巧，擴大其應用范圍，為學生學習化學工程相關的計算奠定堅實的基礎。