空間解析幾何中向量數(shù)量積的引入與講解

左占飛

摘 要：眾所周知，空間解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的一門重要課程.傳統(tǒng)的教學(xué)方式主要以教師講授為主，學(xué)生通過適量的課后練習(xí)鞏固課堂學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn).但這種教學(xué)模式，學(xué)生缺少主動(dòng)的思考，課后的知識(shí)內(nèi)化也很難得到有效落實(shí)，因而往往難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.本文針對(duì)這些問題，以向量數(shù)量積的引入和講解為例，讓學(xué)生在探究問題的過程中學(xué)習(xí)抽象概念，即通俗又實(shí)用，為解析幾何的教學(xué)改革提供一些參考方法.

關(guān)鍵詞：解析幾何；數(shù)量積；概念引入

1 前言

空間解析幾何是是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，是對(duì)中學(xué)平面解析幾何及立體幾何的進(jìn)一步擴(kuò)充和延伸，同時(shí)，它也是學(xué)習(xí)高等幾何、微分幾何等其它幾何課程的基礎(chǔ). 如何讓學(xué)生盡快理解其相關(guān)的概念，并將其應(yīng)用到自己的后續(xù)課程中，是提高解析幾何教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要環(huán)節(jié).現(xiàn)階段普遍的教授方式是從抽象的概念出發(fā)，推導(dǎo)出一些性質(zhì)再來講解概念在解題中的應(yīng)用。這樣的教學(xué)方式容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)感到枯燥乏味，對(duì)所學(xué)概念的前因后果沒有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，不知概念從何處來，也不知這些概念會(huì)應(yīng)用到那些實(shí)際問題中去，從而使學(xué)生喪失了探索知識(shí)的本領(lǐng)，失去了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.本文通過空間解析幾何中向量數(shù)量積的引入，來探討如何將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化和實(shí)用化.

2 向量數(shù)量積的引入與講解

空間解析幾何教材數(shù)量積這一節(jié)內(nèi)容，首先介紹了數(shù)量積的概念，然后探討了一些與概念有關(guān)的性質(zhì)、定理及計(jì)算方法等理論知識(shí)，最后是數(shù)量積的一些數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)例.針對(duì)上述特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一些與概念相關(guān)的一組問題，問題簡單但具有代表性，主要目的是幫助學(xué)生建立一個(gè)學(xué)習(xí)的階梯，由淺入深、循序漸進(jìn)地掌握數(shù)量積的知識(shí)細(xì)節(jié).

2.1 向量數(shù)量積的定義和幾何意義

對(duì)于數(shù)量積的定義和幾何意義，我們?cè)O(shè)計(jì)了下面的問題讓學(xué)生理解定義中的關(guān)鍵字詞，讓學(xué)生透過問題的表象抽象出概念的本質(zhì)。

通過上面兩個(gè)問題的講解，讓學(xué)生自己觀察、分析、討論，抽象出不同學(xué)科問題之間的共有屬性，從而提煉出向量數(shù)量積概念的通用性，從而水到渠成的引入了下列數(shù)量積的定義.

數(shù)量積的定義：

這樣以問題為中心的教學(xué)法不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且鍛煉了學(xué)生自主探索知識(shí)的能力，因此有助于提升教學(xué)效果。

2.2 向量數(shù)量積的計(jì)算與運(yùn)算律

引入了向量數(shù)量積的定義以后，學(xué)生首先對(duì)數(shù)量積的來源有了一個(gè)初步的認(rèn)知，然后為了加深對(duì)概念的鞏固和理解，我們把定義再做進(jìn)一步的延伸，比如啟發(fā)學(xué)生觀察出數(shù)量積的定義與向量射影之間的關(guān)系， 為后面證明運(yùn)算律做準(zhǔn)備.

然后進(jìn)一步通過定義， 推導(dǎo)出向量模和向量夾角的計(jì)算公式，便得到了幾何中最重要的兩個(gè)概念：距離和角度。

在講解數(shù)量積的運(yùn)算律時(shí)，如果直接用數(shù)量積概念來推導(dǎo)運(yùn)算律，學(xué)生在接受這些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，會(huì)缺少主動(dòng)的思考，被動(dòng)地接受老師講授的知識(shí)，學(xué)習(xí)效果往往不是很好。在處理這一部分內(nèi)容時(shí)，我們可以將一些應(yīng)用的問題提前，比如可以讓學(xué)生先考慮下面的問題：

問題3：平行四邊形的對(duì)角線平方和等于各邊的平方和推導(dǎo).

學(xué)生在解答問題的過程中，發(fā)現(xiàn)要想解決這些實(shí)際問題，就必須要研究向量計(jì)算的運(yùn)算律，比如結(jié)合律、交換律、分配律，是否和數(shù)的運(yùn)算律一致？帶著這些問題展開研究，為學(xué)生指明研究的基本方向，讓學(xué)生帶著“問題”推導(dǎo)出數(shù)量積的運(yùn)算律，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

2.3 數(shù)量積的應(yīng)用

教材在講解數(shù)量積的應(yīng)用時(shí)，舉的例子基本全是在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，沒有數(shù)量積在生活實(shí)際中的應(yīng)用，這樣便給學(xué)生這樣一種錯(cuò)覺，數(shù)量積既然是這么重要的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，卻沒有體現(xiàn)出在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用性。我們應(yīng)該在講解數(shù)量積應(yīng)用時(shí)，加入聚光燈的效果計(jì)算問題： 由于向量的數(shù)量積與它們夾角的余弦成正比，因此可以根據(jù)數(shù)量積來判斷光照效果，因此數(shù)量積越大，說明夾角越小，則離光照的軸線越近，光照越強(qiáng)。由于數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算比較容易，所以上述方法在應(yīng)用時(shí)具有很強(qiáng)的操作性。而且通過計(jì)算數(shù)量積的符號(hào)，還可以來判斷計(jì)算機(jī)中的圖形方向，如兩向量數(shù)量積為正，則它們的方向朝向相近，如果數(shù)量積為負(fù)，則方向朝向相反，而且此方法還可被用于動(dòng)畫渲染。通過將抽象的概念實(shí)用化，才能讓學(xué)生覺得數(shù)量積的概念不是無源之水，更不是無用武之地，這樣講解往往會(huì)收到更好的效果.

3 結(jié)語

本文以解析幾何中的數(shù)量積為例，闡述了通過以問題為中心，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程.不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣，從而讓知識(shí)內(nèi)化在課堂中得以落實(shí)， 這種教學(xué)方式在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

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