“雞兔同籠”的一題多解

摘 要：《孫子算經》中雞兔同籠問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何。”這個問題有各種各樣的解法，本文以人教版小學數學四年級下冊中第九章數學廣角的雞兔同籠例題為例，運用“盈不足術”、畫圖法、列表法、假設法和方程法來解決這個問題。

關鍵詞：“雞兔同籠”；一題多解；“盈不足術”

一、 一題多解

例：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

（一） “盈不足術”

《九章算術》中的“盈不足術”主要講了以盈虧問題為中心的一種雙假設算法。例題可用這種方法計算。如：

假設雞有2只，則兔有6只，一共有2×2+6×4=28只腳，多了2只腳；若設雞有4只，兔4只，則腳共有4×2+4×4=24只，少了2只腳。

把第一次設的雞只數記為a1，腳盈部分記為b1；把第二次設的雞只數記為a2，腳虧部分記為b2，則可算出雞有a2b2+a2b2b2+b2=2×2+4×22+2只，兔有8-3=5只。

（二） 畫圖法

在數學學習中，提倡數形結合的數學方法，然而畫圖法正是數形結合很好體現。解法如下：

圓表示頭，

豎杠表示腳，兩條豎杠就是雞，四條豎杠就是兔。題目中說有8個頭，那第一步先畫8個圓；第二步就是分腿了，每個頭分兩條腿，剩余的再剛才的基礎上再分多兩條腿，即一個圓帶四條豎杠的就是兔子。

通過畫圖，可以直觀看出兔子有5只，雞有3只。

（三） 列表法

通過列表解決問題，也就是把符合問題的所有可能答案一個個列出來，并用表格進行整理。解如下：

雞和兔一共8個頭，所以當雞8只，則兔0只；當雞7只，則兔1只……由此可以列出下表：

雞876543210

兔012345678

腳161820222426283032

通過列表，可以看出雞兔共26只腳時，雞有3只，兔有5只。

（四） 假設法

假設法是根據題目中給出已知條件或結論作出某種假設，把復雜的問題簡單化。根據例題解題思路如下：

假設籠子里全部都是雞，先算出在假設條件下籠子里面一共有幾只腳，再拿假設得到的腳數與題中給出的腳數相比，看差多少，因為雞和兔相差兩只腳，將所差的腳數除以二，就可以算出一共有多少只兔，最后算出有多少只雞。

解：假設全是雞，則共有腳：8×2=16（只）；

題目給的腳數與假設腳數的差：26-16=10（只）；

兔子個數：10÷2=5（只）；

雞的個數：8-5=3（只）。

答：雞有3只，兔有5只。

（五） 方程法

方程法把未知量設為字母，然后把字母作為已知量參與計算，最終得到等式的過程。所以根據題意方程法有兩種：

1. 只含一個未知數

解：設雞有x只，兔有（8-x）只，則雞腳有2x只，兔腳有4（8-x）只。2x+4（8-x）=26，求得x=3，故雞有3只；則兔有8-3=5（只）。

2. 未知數不止一個

解：設雞有x只，兔有y只，則雞腳有2x只，兔腳有4y只。

2x+4y=26

聯立方程組得2y=10；最后解得y=5，x=3；所以雞有3只，兔有5只。

二、 解題分析

根據上文的五種方法的介紹，可以發現數學問題解題的靈活多樣性，第一種可以讓學生深入學習數學文化，后面四種方法是層層遞進的，有利于對學生高層次認知水平的培養。

“盈不足術”，對于低年級學生較為抽象，介紹這種方法可以讓學生體會到古時候的人們也能有大智慧，使學生融入數學文化。

畫圖法：借助圖形來解題對于年級小、認知水平較低的學生來說簡單些，還能激發數學興趣，并且有利于假設法的理解，但對于大數目題目時，畫圖就不切實際。

列表法：把符合問題的所有可能答案逐個列出來，并用表格進行整理。這種方法對于小數目的題目來說方便快捷，數字大了，就顯得繁瑣，還容易出錯。

假設法：對于小學學生來說，較難理解，需要借助畫圖法，使題目呈現更直觀，才能進一步理解。適用范圍大，不會因為數目大小而受到限制。

方程法：通過一套流程來解題，但是要求用未知量來計算，對于小學生認知要求較高，需要把未知當已知來算。這種方法也是不受數目大小限制，解題方便快速。

解決“雞兔同籠”問題，其實也是建立解題模型的問題，這個模型不僅僅局限在雞和兔，可以把雞和兔換成龜和鶴、單車和三輪車等。

參考文獻：

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作者簡介：

劉婉悅，廣西壯族自治區桂林市，廣西師范大學。