基于多目標優化算法的并聯機構綜合設計

丁銳，曹毅

(1. 江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122； 2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；3. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

0 引言

并聯機構具有高剛度、高精度、承載能力強、反應速度快等優點[1]，因此適用于如納米級微動機構、傳感器設備等諸多宏觀與微觀領域。近年來，少自由度并聯機構的設計研究[2-4]已經成為并聯機構領域中重要的研究方向和前沿技術。對適用于傳感器的新結構，對具有高精度、高速度等性能的結構設計研究也是世界各國爭先研究的傳感器技術課題之一。但是并聯機構的性能受其幾何參數的影響非常大，也影響了并聯機器人的廣泛運用。因此在并聯機構設計中，選擇一套合理的幾何設計參數來達到期望的、最佳的性能是特別重要的。并聯機構的尺寸優化設計在機構設計這個領域，總是最具有挑戰性的課題之一。

目前對于并聯機構的尺寸綜合研究，有運用代數法針對工作空間[5]、條件數[6]等單方面進行尺寸綜合。因此，尺寸綜合也需要考慮多個變量對多種目標函數的影響，從而有效提高并聯機構的性能。現有的綜合方法大多數是采用傳統的優化設計方法，存在著優化效果不明顯、優化方案不可行等問題。因此，根據Delta[7-9]并聯機構的特征，結合一般傳感器結構的性能指標。設計多組優化方案，對多目標尺寸綜合的方法進行研究，為適用于傳感器設備等諸多領域提供技術支持。

1 理論基礎

1.1 綜合方法

尺寸綜合是實現并聯機構運動學設計的最終目標，具體考慮動平臺需要實現的能力例如運動靈活度、精度等，并兼顧工作空間、支鏈干涉多種因素，以其中某種性能最優為目標，求出最合適的尺度參數。

針對并聯機構設計參數多的問題，采取目標函數的綜合方法。其核心是將所有需要考慮的目標轉化為目標函數，能夠解決傳統方法不能解決設計參數過多的問題。利用優化算法在設計參數的可能解空間搜索出使目標函數值最佳的設計參數。

1) 優化算法

由于傳統的優化方法不僅需要目標函數的數值，還需要其他輔助信息，例如導數值才能進行搜索和優化。針對傳統優化方法的缺陷，采用遺傳算法[10]作為優化算法。其將目標函數直接轉化為適應度函數。由于其進化特質，遺傳算法可以處理實際問題中非常復雜的設計問題。

表1所示是遺傳算法GA的優化參數設置，包括初始種群的數量、最大遺傳代數、變異率和代溝率的設定。其中變量數目則根據實際機構設定，Delta機構變量數目則定為3。

表1 優化參數

2) 約束處理

在遺傳算法中，核心是適應度函數的建立。在尺寸綜合的過程中，通常會有約束條件。由于約束條件在遺傳算法中無法直接運用，需將有約束的優化問題轉化為無約束的優化問題，進而構造適應度函數，并根據流程實現優化問題的求解。

求解約束優化的方法包括罰函數法、梯度投影法、網格法等。其中罰函數法的應用最廣泛。罰函數法的核心就是將約束和目標函數融合為新的函數，也就是將有約束轉變為無約束。所以針對上述問題采用罰函數法進行約束處理。

綜上，提出采用目標函數、罰函數法和遺傳算法的多目標尺寸優化作為機構尺寸設計的方法。

1.2 研究對象簡介

以少自由度并聯機構中適用于高速場合的Delta機構為研究對象，其三維仿真模型如圖1所示。

圖1 三維模型

該機構由動靜平臺和3條完全一致的支鏈組成。在每條支鏈上，定桿下端與下面的靜平臺以轉動副連接，平行四邊形機構及定桿和上面的動平臺均以轉動副連接。該機構結構簡潔易分析[7]91，可知其具有3個自由度，因為其中3組平行四邊形機構消除了動平臺的轉動自由度，只保留了空間3個平動自由度。

1) 雅可比矩陣

因為雅可比矩陣是對機構進行運動學、靜力學、動力學、誤差等研究的一個重要參考，所以尺寸綜合必須先進行雅可比矩陣求解。雅可比矩陣是動平臺在笛卡爾空間內運動速度與驅動關節速度之間的映射。

機構輸入和輸出之間的關系式如下所示。

(1)

根據雅可比矩陣的定義，整理并簡化式(1)得到雅可比矩陣：

J=JQ-1Jq

(2)

(3)

(4)

式中JQ、Jq分別表示約束方程對輸出位移和輸入驅動角的偏導。

2) 性能指標

為了衡量機構設計的好壞，需要定義目標函數的評價標準。其中衡量并聯機構上某一位置運動靈巧度的值為局部條件數k，公認雅可比矩陣的范數是條件數，具體表達式如式(5)：

(5)

為了更全面進行機構設計，還需考慮機構的速度指標。而衡量機構速度大小的值為速度極值，定義為矩陣JTJ的最小特征值的開方。其中J為上節雅可比矩陣。除了上述運動學性能，機構的剛度性能不僅能影響機構的動態特性，而且決定機構在負載下的定位精度，因此剛度是機構非常重要的設計指標。對于1個機械系統，機構的剛度矩陣為S=K(JTJ)，K為系統變形系數；因此可以利用剛度矩陣的特征數值作為衡量機構剛度性能的性能指標。

定義剛度矩陣的條件數Ks為剛度指標，具體表達式如式(6)：

(6)

因此，得到3個衡量機構性能的評價指標。

2 尺寸綜合實例

多個要求即需要設計多個目標，讓所有目標都達到最小，幾乎是不可能的事。基于以上問題，提出將優化目標按照重要性進行分類，主要分為4類：必要性能(優化約束)、最優性能、重要性能、次要性能。 根據工程實際確定性能的重要性，基于權重系數變換法對于需要優化的多個目標，分別賦予權重wi。wi的大小表示目標的重要程度，對多目標進行求解。

下面針對多種具體設計要求，采用上述優化方法對Delta機構進行尺寸綜合。

2.1 基本參數

a) 機構參數

設定Delta機構的設計變量：X=[R,L1,L2]T，其中:R為動靜平臺半徑差，L1和L2分別為機構驅動桿和從動桿桿長。根據工程實際，設定Delta機構的初始參數：L1=72cm，L2=50cm，R=1cm。

b) 設計條件

設定需要設計的必要條件。

1) 將工作空間設定為必要性能，設定其工作空間≥50 cm3(以50 cm為半徑的球體空間)。

2) 設定機構動平臺優化的具體位姿P0(0,0,50)，表示目標函數需在P0處達到最小值。

c) 約束條件

生產實際中，存在很多因素影響機構運行，所以設計需滿足以下條件。

1) 機構總體尺寸需在合理的范圍，桿件之間的軸線距離應該大于桿件的直徑，并且機構上需要安裝電機，所以需滿足條件：驅動桿L1≥L1min。L1min為桿件直徑的最小值，可得約束1：

y1=L1min-L1≤0

(7)

2) 因為鉸鏈的轉動是有限制的，不能超過一定的值，所以存在約束：θi<θmax。θmax為鉸鏈轉動角的最大值，可得約束2：

y2=θi-θmax<0

(8)

除上述條件，Delta綜合設計模型還需要具體的設計要求。

2.2 雙目標優化

a) 雙目標優化模型

考慮到實際應用中，機構會廣泛應用到各種環境，所以對設計而言就需要多樣化。基于上述結論，方案1以靈巧度k、剛度最優為目標。由上節性能指標和設定條件可知方案1的目標函數：

(9)

式(9)表示分別以條件數最小和剛度條件數最小的2個目標函數。基于設計多樣性，對性能指標進行分類。此方案以條件數為最優性能，則其數量級系數n1=1，權重系數w1=0.7；以速度極值為重要性能，則其數量級系數n2=106，權重系數w2=0.3。因此，得到適應度函數：

(10)

上述為方案1的優化數學模型。

b) 結果分析

根據雙目標優化數學模型，利用遺傳算法對Delta并聯機構進行方案1的優化設計，最終得到尺寸參數。對運行結果進行圓整，將優化后的圓整結果與優化前數值進行對比分析，對比結果如表2所示；優化過程中解和種群均值隨迭代次數而變化的過程如圖2所示。分析結果可總結如下：

1) 由表2與圖2可知，方案1的優化設計結果與優化前數值相比，條件數k減小到3.025 6，剛度條件數ks減小到3.451 7e+03；

2) 將遺傳算法優化得到的優化變量代入約束條件函數式當中，均能夠滿足約束條件的要求；

3) 如圖2所示方案1經過1 000次迭代，種群對環境的適應能力逐漸提高，適應度函數最佳值最終趨于平穩，并且其優化速度非常高。

表2 雙目標優化結果

圖2 雙目標優化過程

2.3 三目標優化

a) 三目標優化模型

為了更好更全面地設計機構的結構參數，方案2以靈巧度k、速度極值、剛度最優為目標，相比雙目標優化多了速度極值為最優的條件。

因此其目標函數由3個性能指標構成，具體如式(11)：

(11)

式(11)表示求條件數最小、剛度條件數最小以及速度極值倒數最小的解。根據性能分類，以條件數為最優性能，其數量級系數n1=1，權重系數w1=0.5；以剛度為重要性能，其數量級系數n2=106，權重系數w2=0.3。以速度極值為次要性能，其數量級系數n3=106，權重系數w3=0.2。因此，得到適應度函數：

(12)

上述為三目標優化數學模型。

b) 結果分析

利用遺傳算法對Delta并聯機構進行方案2的優化設計，根據三目標優化數學模型進行尺寸綜合，優化過程與結果如圖3、表3所示。

圖3 三目標優化過程

表3 三目標優化結果

分析結果可總結如下：

1) 由圖3與表3可知，方案2的優化設計結果與優化前數值相比，條件數k減小到4.525 7，剛度條件數ks減小到1.515 2e+05，速度極值增大到118.383 0。

2) 遺傳算法優化得到的優化變量代入約束條件函數式當中，均能夠滿足約束條件的要求。

3) 如圖3所示經過1 000次迭代，和方案1類似種群對環境的適應能力逐漸提高，適應度函數最佳值最終趨于平穩，而優化速度相比方案1則有所下降。

3 結語

以Delta并聯機構為研究對象，針對不同設計要求，提出以性能要求分類為前提基于遺傳算法和目標函數的尺寸綜合方法。以實例驗證了綜合方法的可行性。方案1和方案2綜合出雙目標和三目標為最優的Delta機構，并且保證其符合工作過程中設定的約束。

后續可以考慮動力學方面的性能和更多方面的約束，進一步深入研究本課題。本文研究有利于提高并聯機構的性能，為傳感器新結構提供理論依據及技術支持。